技术指南 | 理解零知识证明算法之Zk-stark

Concept：zk-starkvszk-snark

谈到ZKP算法，大伙可能听过一些，比如zk-snark，zk-stark,bulletproof，aztec，plonk等等。今天，咱就给大伙聊聊这一对“表面兄弟”，zk-stark和zk-snark算法的异同之处。

不如，先让我们从名称说起？毕竟，两个看起来都很厉害的亚子^_^！

如下图所示，我们将名称zk-stark和zk-snark根据功能特点分别分成四个部分，然后逐个比较分析。

Zk-stark=>zk-stark

zk：零知识，表明隐私的输入将会被隐藏，除了证明者，其他任何人不会看见；

s：可扩展的，和ReplayComputation的验证耗时相比，zk-stark的证明和验证耗时分别与之呈拟线性关系和对数关系；

分析：技术指标显示ETH或出现回调:尽管以太坊最近几天的价格走势让许多人相信牛市正在酝酿之中，但这一趋势可能会暂时消失。一位名为“Joseph”的交易员指出，他自己使用的一个用于追踪趋势持续的专用指标正在形成三月暴跌前曾出现的迹象。此外，还有其他预期和指标显示，ETH价格有可能出现回调。（Bitcoinist）[2020/7/26]

t：透明的，zk-stark算法没有CRSsetupbyTrustedparty；

arg：知识论证，只有知道privateinput的prover，才能生成有效的proof；

Zk-snark=>zk-snark

zk：零知识，表明隐私的输入将会被隐藏，除了证明者，其他任何人不会看见；

s：简洁的，指的是生成的proof足够小和验证时间足够短；

n：非交互式的，Prover生成证明的过程中和verifier没有交互；

arg：知识论证，只有知道privateinput的prover，才能生成有效的proof；

声音 | 彭博社：技术指标显示以太坊处于2019年5月以来最超买水平:彭博社发文称，根据衡量连续收盘价涨跌的GTI全球实力指标，以太坊处于自2019年5月以来的最超买水平。此外，以太坊今年以来的涨幅，也推动彭博银河加密指数进入超买区间。该指数追踪一些规模较大的数字资产，以太坊占指数的近30%。[2020/2/14]

Compare

相同点

都实现了将隐私的输入可靠隐藏；

都是基于知识论证，不知道privateinput的prover生成不了有效的proof；

都可以实现交互式与非交互式式的算法，只是取决于randomness是由谁来生成的；

不同点

zk-stark具有可扩展性，即证明和验证的耗时与原始计算的耗时分别呈拟线性关系和对数关系，这意味这，如果原始输入的数据集增大1000000倍，zk-stark的证明耗时增加线性倍数的时间，但验证时间仅仅增加21*log1000000=~420倍。证明耗时呈线性关系基本满足所有的ZKP算法，但是验证时间呈对数关系，仅此一家，因此在扩展性上，zk-stark要胜一筹。

声音 | 彭博社：比特币势将录得年内最差单月表现 技术指标陷入超卖:比特币势将录得今年最糟糕的单月表现，不过技术信号表明其最近的下滑可能即将结束。上周末，比特币重新测试了其五月份录得的跳空高开缺口，随后出现反弹，这可能表明其价格的回撤正在失去动力。随着缺口被填补，比特币来到了5月反弹之前的相同价格水平。这意味着比特币可能会在6500美元左右找到支撑，比目前价格低约8%。此外，根据14天RSI指标（目前位于25），比特币目前已严重超卖。一旦该指标跌至30或更低，就会被视为超卖。（彭博社）[2019/11/28]

zk-stark同样具有简洁性，但是是验证简洁性。所谓简洁性，通常是指即使验证程序很大，生成的proofsize也不会很大，同时又能很快的完成验证。相比对zk-snark，zk-stark的proofsize要大的多，因此在简洁性上，zk-snark要胜一筹。

ALGcompare

前面从概念上对zk-stark和zk-snark算法做了比较，其异同点可以笼统的概括为：

都是基于知识论证的ZKP算法；

声音 | Rekt Capital：重要技术指标显示，数种山寨币或迎来强势逆转行情:加密货币交易员Rekt Capital发推称，尽管我并不特别看好山寨币，但我发现，目前有少数几种山寨币在200指数移动均线（200 EMA）下方徘徊。200 EMA是投资者情绪的一个长期指标，这意味着一些山寨币可能处于强势逆转的边缘。注：200 EMA是很好的衡量投资者对某种资产的情绪指标。因此，如果一种资产价格高于该指数移动，可能意味着牛市已经开始。（BeInCrypto）[2019/11/3]

zk-stark不需要zk-snark的Trustedparty设置CRS，因此是Transparent；

zk-stark的验证耗时与nativecomputation耗时呈对数关系，因此是Scalable；

下面，我们将从算法层面，去做相对更深入一些的比较分析：

zk-snarkALG

算法思想：将证明CIstatement成立问题转换成证明多项式等式成立问题，转换过程用到了算术环路和QAP方法；

分析 | 部分技术指标显示比特币正处于买入周期:据彭博报道，GTI Vera收敛差异指标显示，比特币正处于6个月来最长的购买周期。如果买盘压力像过去13天那样持续，在去年下跌74%之后，比特币价格可能继续上涨。eToro分析师Mati Greenspan认为，从图表技术分析上看，“我们更接近底部，而不是顶部”。此外，彭博加密指数正处于自9月上涨以来最长的“买入周期”。Bloomberg Intelligence分析师Mike McGlone表示，与应税亏损相关的抛盘结束，可能是周三反弹的原因之一。[2019/1/3]

多项式等式成立意味着什么？

等式两边可以看作两个度相等的多项式，假设为n，其交点最多有n个，假如在一个很大的域范围内随机选一个点，如果的两个多项式在此点的值相等，则证明两个多项式是相等的。

我们可以看到，等式右边的多项式因子Z是目标多项式，它的零点就是右边整体多项式的零点，也就是等式左边整体多项式的零点，而等式左边的多项式在这些零点的取值，就转换成了一个个的算术电路里每个乘法门对应的一阶线性约束等式成立，即原始计算等式成立；

算法分为三个步骤，CRS生成；证明者证明；验证者验证；

可以看到prover生成证明过程中，没有与验证者交互，因此是non-interative;

如何保证prover用于生成证明的A/B/C/H是多项式且是小于某个度数呢？

通过trustedparty来保证，因为它是可信任的，因此它生成pk,vk用到的A/B/C等肯定是多项式并且是小于某个度的；

如果证明者作恶，那么验证者将会很大概率验证失败；

主要用到了同态加密HH和系数知识假设KCA和椭圆曲线双线性配对等数学知识；

zk-starkALG?

算法思想：将证明CIstatement成立问题转化成证明多项式小于某个度的问题，转换过程用到了多项式插值方法；

多项式等式成立意味着什么？

思想与zk-snark一样，T同样为目标多项式，其零点已知且公开，也是等式左侧多项式Q的零点，多项式Q在每一个零点的取值都对应了一个executetrace的成立。因此多项式相等，意味着executetrace正确，说明原始CI成立。

多项式小于某个度意味着什么？

和zk-snark类似的是，两者都把CIstatement转换成了证明多项式等式成立的问题。为了防止验证者作恶，必须要保证多项式是低于某个度的。不同的是，zk-snark使用了trustedparty机制和同态加密等数学方法，而zk-stark使用了低度测试等数学方法。当且仅当多项式真正的小于某个度时，多项式的相等才是真实意义上的相等，说明生成轨迹多项式的executetrace是正确的，即原始CI成立。

算法分为两大步骤，算术化和低度测试；

算术化：是把问题转化为多项式形式

低度测试：是证明组合多项式(图中黄色)和轨迹多项式小于某个固定的度-->FRI算法

在生成证明的过程中，有交互，所以图中描述的是交互式的零知识证明算法；

Summary

以上分别从概念和算法上介绍了zk-snark和zk-stark算法的异同之处，作为引文，后续发文将深入详细价绍zk-stark算法的原理。如有错误，麻烦批评指正，谢谢。

Appendix

V神三部曲，含泪拜读https://vitalik.ca/general/2017/11/09/starks_part_1.html

zk-stark论文?chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2018%2F046.pdf

starkware官方讲解系列https://medium.com/starkware/stark-math-the-journey-begins-51bd2b063c71

zk-snark论文?chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2013%2F879.pdf

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