Uni V3的数学原理

前言——UniswapV3放出了很多feature，然而其最为本质的迭代依然是对AMM数学曲线的再思考。在过去的两年中，我们也躬身入局AMM领域，认为AMM最基本的曲线形态已经定型，后续的创新应该会在AMM基本曲线形态的基础上实现“策略化”，于是我们创造了MOV超导V2。而如今我们看到了V3，突然有一种“久别重逢”的感觉，在寻找这种感觉之余，我们也希望为大家呈现AMM最为深刻的思考路程。因为AMM的时代将会比想象得更为恢弘壮阔。

让我们直切正题，UniswapV3最耀眼的创新——在AMM上实现集中流动性。

V3给出了一个虚拟储备金的概念，举例讲解：

在传统V2中，Alice一次性将500,000DAI和333.33ETH注入储备池，总价值$1m，提供全区间

(0,\infty)

的流动性，但实际上ETH的价格波动范围在很长一段时间内是有局部范围的，这种为全区间无私提供流动性的行为大大浪费了资本利用效率。

所谓的集中流动性便是让LP自主选择波动范围，只为该范围提供局部流动性，例如Bob认为未来一段时间内ETH的价格区间在

(1000,2250)

，并且如果未来真的是在这个区间波动，Bob希望自己获得的收益能够跟百万富豪Alice一样多，于是Bob一开始只需要投入91,751DAI和61.17ETH，总价值$183,500，远远小于Alice实际投入的资金。我们对照下图来解释其中的道理。

Uniswap宣布已上线BNB Chain:金色财经报道，Uniswap宣布已上线BNB Chain。Uniswap表示，与Polygon和Arbitrum一样，BNB Chain通常提供比以太坊主网更快、更便宜的交易，使Uniswap更容易为更广泛的受众所接受。[2023/3/16 13:06:31]

则

即Bob所获得的虚拟曲线几乎跟Alice一样。

上述计算过程是一种反证法，实际上用户Bob会向系统算法提出自己的需求输入，包括预测价格区间范围、当前价格点、最终想要获得的一个virtualreserves规模。有了虚拟曲线表达式的确定，可以轻松算出a、b、c三个确定的点坐标，进而便算出?

Messari报告：2022 Q2 1inch总交易量首次超越Uniswap，达310亿美元:7月25日消息，加密分析平台Messari近期发布的“2022 Q2 1inch状态报告”显示，在2022年第二季度，各大去中心化交易平台(DEX)的总交易量超过810亿美元。自2021年第四季度以来，交易量下降达31%。其中，1inch总交易量达310亿美元，占比达39%；

而相比之下，Uniswap的总交易量为230亿美元，占比28%，此前Uniswap在历史上一直占据着DEX交易总量的主导地位。此外，1inch和Uniswap曾分别占据一季度900亿美元总交易量的36%和37%。[2022/7/25 2:35:39]

x_{real}=61.17

以及

y_{real}=91751

。

同时，也可以看到，一旦未来价格越出了区间，Bob其中一种资产将彻底消失。

Enjin将与科幻MMO游戏Entropia Universe合作推出实用NFT，并将在NFT.io拍卖:7月15日消息，区块链游戏开发平台Enjin宣布与科幻MMO游戏Entropia Universe合作，将于8月推出一套实用NFT合集，该NFT在Entropia Universe中具有特殊效用，并将在NFT.io上拍卖。[2022/7/15 2:16:01]

全局状态中有

feeGrowthGlobal0(f_{g},0)和feeGrowthGlobal1(f_{g},1)

—

f_{g}

，用来从全局角度统计总的手续费收益。例如，当在一个tick内发生了一笔交易，系统会计算出该笔交易产生的手续费：

f_{a}

变量是对所有高于itick的区间的fee统计，

f_{b}

UNI跌破19美元关口 日内涨幅为3.28%:火币全球站数据显示，UNI短线下跌，跌破19美元关口，现报18.9931美元，日内涨幅达到3.28%，行情波动较大，请做好风险控制。[2021/2/2 18:40:20]

是对所有低于itick的区间的fee统计，因此在上述总公式中，我们从全局总累计手续费

f_{g}

中减去所有低于下界

i_{l}

的累计手续费，再减去所有高于上界

i_{u}

的累计手续费，便是

(i_{l},i_{u})

?之间的累计手续费。

f_{o}

可以理解为一个计算单元，用于累积截止到

i

?tick的手续费，在它的初始化过程中，我们约定如下：

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再来看

f_{a}

的计算，分成了两段，可以理解为——

如果当前tick等于i或者高于i，此时从全局总手续费

动态 | 瑞士杜卡斯贝银行否认与Unitrade Enterprises存在关联:瑞士杜卡斯贝银行（dukascopy）就一家名为Unitrade Enterprises Limited的企业发出警告，Unitrade Enterprises目前业务涉及从资产管理到加密货币交易等多个领域，并声称其为杜卡斯贝银行的授权品牌。然而，杜卡斯贝银行则表示：“该公司在没有得到本行许可的情况下，性地使用杜卡斯贝的名称来吸引客户/投资者。我们正在对这个不诚实的组织采取行动。”（Finance Magnates）[2019/12/14]

f_{g}

中减去“累积到itick”的手续费

f_{o}(i)

，剩下的便是对所有高于itick的区间的fee统计；

但如果当前tick还未抵达i，此时根据对

f_{o}

的初始化定义为0，则所有高于itick的区间的fee统计尚未产生，为0。

同样对于

f_{b}

——

如果当前tick抵达或者超过了i，

f_{o}(i)

表示累计到i的手续费，也即对所有低于itick的区间的fee统计；

如果当前tick还未抵达i，对所有低于itick的区间的fee统计值即为当前的全局变量

f_{g}

。

通俗来概括，系统算法要统计某一个range内累计的手续费，

如果当前tick已经处于range内部，即

i_{l}\leqi_{c}<i_{u}

，只需要从全局手续费

f_{g}

减去所有低于

i_{l}

组成的range累计的手续费；

如果当前tick不处于range内部，且低于下界

i_{l}

，说明尚未在

(i_{l},i_{u})

区间内产生交易，也就未产生手续费，因此该range内累计量为0；

如果当前tick不处于range内部，且高于上界

i_{u}

，需要从全局总量中分别去除“两头”各自的累计量，即从全局

f_{g}

中减去所有低于

i_{l}

区间累计量，再减去“从

i_{u}

到当前tick区间累计量”。

UniV3计算手续费的过程是一种从微观走向宏观的思想，它将空间划分成离散的，每一个时间刻度只会在一个离散空间上产生交易，从而产生手续费，每一个微观tick都在各自记录着自己从最低tick到自身这段区间内的累计手续费总和，然后供上述公式不断调用，以计算各种宏观结果。

UniV3已经改变了传统AMM对LP行为的设定，也不再基于全局流动性和份额来为每一个LP计算手续费收益。对V3来讲，它只关注在每一个tick里存在多少“虚拟”流动性，以及这些虚拟流动性产生了多少手续费，算得单位虚拟流动性对应的手续费值；在这个时空之下，我们再把视角切到具体每一个LP上，对于任何LP，都会存在一个“开仓”的区间设定，他在自己设定的区间提供了虚拟流动性，可能是一个tick，也可能是连续多个tick，从最简单的“一个tick”角度解释，系统会记得同一时空下每一个LP在此tick注入的虚拟流动性值，并为他们确定出一个比例，以此分得该tick内所有手续费累计。

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在实际情况中，LP们还会存在复杂的行为，比如注入/退出的时间纷杂、选择的range/tick纷杂。但UniV3的大道至简之处正是利用全局计算来屏蔽掉单个LP视角，只关心ticks视角和Position视角。在确定好上述所述的一系列全局状态变量的定义后，认真记录好每一笔swap交易在ticks中发生的情况，同时只记录每个tick内虚拟流动性的大小，以此为根本去提供swap交易公式以及swap后手续费如何分配给参与该tick的所有LP们。LP的复杂行为体现在空间的不连续性和时间的不统一性两方面，对于时间不统一性，UniV3还会引入Position这一级别的全局变量为每一个身份记录下其对range/tick加入/退出时手续费的统计，确保后来的LP不会参与到前序LP们已经累计的收益分配。

如果总结来讲，tick-level是对空间上发生的统计，确保起点一致的LP们fee分配，而Position-level是对时间上发生的统计，确保不同起点的LP们fee累计起点不一样。建议实现者深入V3代码，才能真正获得安全计算法。

最后，UniV3过于复杂，但大道至简，即便去模仿，模仿者依然需要下功夫深刻了解其“微积分”思维。这篇文章只选择了fee这一个角度呈现UniV3的“数学原理”，也是其实现集中流动性的核心逻辑。而在数学之外，我们有更多惊喜的“哲学意义”发现与大家分享，例如LPtoken的进化、NFT其实并不只属于艺术领域、V3会存在一个策略博弈、V3对基金池/合成资产的启示等等，当然也包括与MOV超导V2的“心有灵犀”——AMM的本质是连续性的无限网格，UniV3是在这个无限网格基础之上再实现了微观无限网格，是“无数网格机器人的叠加”，MOV超导V2则是在无限网格基础之上进行了更为宏观的无限网格，是超级网格。请期待下一篇《UniV3的自然哲学》。

作者：比原链研究院

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