深入分析 Uniswap V3 流动性供应的数学原理

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时间：1900/1/1 0:00:00

前言

Uniswap是DeFi领域的头部去中心化交易所，其在今年5月上线了V3版本协议。V3版本与之前V2版本相比存在诸多差异，如集中流动性、多个费用等级、新的预言机等等。

在这些多样的特点背后，究竟藏着怎样的数学奥秘，同时是否真的能为用户带来更大的收益，减少无常损失？

知道创宇区块链安全实验室?将带你从数学原理角度在UniswapV3集中流动性方面进行剖析。

何谓集中流动性

在UniswapV3中，流动性提供者可以将其提供的流动性"限制"在任意的价格区间内来集中其流动性。

为了解释这一概念，首先我们关联到UniswapV2的自动做市商曲线。在该曲线中，用户的流动性被均匀的分布在整个(0,正无穷大)之中。

图1

在V2版本中，由于许多池子的价格变动没有那么的频繁，比如UDST/DAI池子中。由于其价值均锚定美元，发生的交易将会聚集在上图中的A点附近，这就意味着流动性池中的大部分资产是永远不会被触及到的。

因此在V3中，用户可以将其流动性聚集在某一个线段。如下图B到C点：

Aurora CEO：彩虹桥已完全恢复，将深入审查相关问题:金色财经报道，Aurora CEO Alex Shevchenko发推称，彩虹桥已完全恢复。用户可以进行新的代币跨链，也可以完成暂停前已经开始的代币跨链。接下来将对该问题进行深入审查。

据此前报道，2月11日，Aurora CEO Alex Shevchenko发推称，彩虹桥（Rainbow Bridge）已采取预防措施而暂停使用，没有资金损失，团队正在努力恢复彩虹桥。[2023/2/13 12:03:11]

图2

这样，由于大量用户的流动性被集中，对于B点到C点的线段的流动性将会变得非常"厚"，这样的池子将使得来交易的人交易滑点得以显著减小，并有效提高资本效率。

如何将流动性集中

在具体实现的过程中，V3依靠了资产的杠杆。将一部分用户资产虚拟出来，导致了坐标轴图像的平移，虚拟资产假设对应x'和y'。

在原始的UniswapV2中，曲线公式为：x*y=k

UniswapV3通过引入x'和y'资产升级了该公式。此处x'我们将其称为x资产的虚拟储备，y'称为y资产的虚拟储备，于是引入了如下式子：

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由于为资产添加了杠杆，使下图中原本在下面的曲线，能够平移到上面储备量更大的曲线中去，这也意味着在有限的的价格范围内，一组较小的储备x、y能够充当更大的储备x+x'、y+y'。

同时，上方为虚拟资产被添加后的虚拟AMM曲线。在实际交易曲线中，下方才是流动性提供者资产的真实变化曲线。

于是，在B点或C点时，处于强势的资产将被损耗为0，也就是说将会全部兑换成劣势资产并停止做市。

如下图3：

图3上方为虚拟平移的AMM曲线

根据V2的自动做市曲线方程。让L被定义为k=L^2，于是有该式：x*y=k=L^2

声音 | 中国科学院院士：区块链等已经深入到市民生活的方方面面:9月10日至11日，2019世界计算机大会在湖南长沙举行，中国科学院院士张平文说，计算机包括5G、云计算、大数据、人工智能、区块链等，已经深入到市民生活的方方面面。（中国新闻网）[2019/9/12]

对其开根号，即有

而对于价格来说，当前的价格P(用y对x资产定价)有：

根据式3，对其取平方根，即有：

联立式4与式2，我们可以消去y，对于闭区间任一点，则有：

同理可消去y，对于任一点，则有：

于是，我们只要知道P(x的价格)，在流动性没有改变时(L不改变)，则可以得到对应的x资产量和y资产量。

计算虚拟资产(x'/y')

图4虚拟资产x'与y'

考虑极端情况，在上图中，经过平移后上方的AMM图形由于在B点时，用户提供的x资产由于在实际中已全部损耗。

也就是说x=0，剩余的x均为虚拟出来的，即x'。

根据式5去计算。此时计算x资产量对于B点有：

同理，我们计算C点，此时用户提供的y资产由于在实际中已全部损耗，即有y=0，剩余的y均为虚拟出来的，即y'。则有

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由上可知，xb?与?yc?则是Uniswap为用户虚拟出来的Token量，即x'与y'，这也是Uniswap中为用户开的杠杆的Token数量。

于是，我们得到完整UniswapV3的AMM曲线，见式9：

同时，对于选定的区间中的任意一点，由用户提供的真实的资产见下图：

注：下图摘自UniswapV3白皮书，区间为，任意一点被选择为c

图5用户提供的真实资产与虚拟储备AMM曲线

隐患-无常损失

由于V3在用户的选择下将流动性使用添加杠杆的方式进行了集中，而对于流动性提供者来说本质上是在与用户做对手盘，即越跌越买，越高越卖，这将导致无常损失的加剧。

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根据上述分析，只要价格达到设定的区间临界点，流动性提供者的代币将会完全转换为另一种处于劣势的代币，并且在价格重新进入该临界点之前不会赚取交易费用。

世上没有什么免费的午餐。风险越高，收益越高。你提供的流动性越集中，你获得的手续费收入就越高，同时也将承担更多的无常损失。——Uniswap创始人，HaydenAdams

UniswapV3--添加流动性

具体而言，假设现有一UniswapV3交易池，交易对ETH/DAI，池中X与Y储备比例10:800，L2为8000，P为80即交易价格80DAI/ETH。

当前价格对应点A(10,800)，若一流动性提供商，尝试在P=进行做市。对应的点B(5,1600)，P=320。点C(20,400)，P=20

该流动性提供商想投入3个ETH，这3个ETH会被全部用于xreal，由于当前价格在选定区间内。

根据白皮书，有以下式子：

由式10，投入△x=3，投入的ETH将改变池子的L。经过计算△L为：

再通过△L计算△y:

于是投入3个ETH,时，计算投入的DAI应为240个。新的L'约为143.11(仅限于在闭区间P=)。

UniswapV3--Swap

对于该UniswapV3池子,若ETH突然上涨，价格到达1ETH=100DAI，此时就会有套利者在该DEX中用DAI兑换ETH来套利，为了将其达到与外部平衡，将有P=80==>P'=100，根据白皮书，Swap计算价格变化如下：

将根号后的起始价格P和结束价格P'带入，可以计算得到△y≈151.09，而△x≈1.689。

若Swap的资产假设该流动性提供者按照L比例划分了37.5%，于是该流动性提供者分摊x≈0.6334，y≈56.66

于是我们得出如下表格：

我们将其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%

集中流动性放大了资产L的占比，提高资产效率的同时承担了更多的无常损失。当然，这只是选择做市区间比较小，同时分摊比例较大的情况，现实会有许多人根据投入的L占比大小来分摊这笔swap。并且该笔swap由于本身比较大，几乎占了总资产的21.113%，进而显得无常损失的百分比很大，这也印证了盲目做市所带来的亏损。另外，价格波动对其也存在影响，只上涨到P=85时IL_V3约为0.58%。

UniswapV2--添加流动性

而对于UniswapV2，假设原池中的资产量为10个ETH和800个DAI，即P为80DAI/ETH。

流动性提供者投入了3ETH和240DAI，此时则存在13个ETH与1040个DAI，价格仍为80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K为13520。

UniswapV2--Swap

当ETH突然上涨，价格到达1ETH=100DAI，此时就会有套利者用DAI兑换ETH来套利。

设共用△y个DAI兑换△x个ETH后，AMM池中ETH:DAI价格达到与外部平衡的1:100

不考虑手续费等因素，则有：

解得dx≈1.3724,dy≈122.76，即套利者给了122.76个DAI，换走了1.3724个ETH。池子-1.3724个ETH，+122.76个DAI

这将在所有比重中分担，于是提供者分担23.077%，即失去0.3167个ETH，换取28.33个DAI，我们得出如下表格：