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-----精选段落-----

从一到无穷大

于是，国王发现自己已债台高筑，他要么以后不断地还债，实现对宰相的承诺；要么干脆砍了宰相的头。我们猜他应该是选择了后者。

另一个以大数字为主角的故事也发生在印度，讨论的是关于“世界末日”的问题。数学猜想历史学家鲍尔

在世界的中心贝拉那斯

你可以自己动手做一个这样的解谜玩具，用硬纸板代替金片，用长铁钉代替印度神话中的金刚石针。要发现移动金片的总体规律并不难，你很快就可以看出，每成功转移一个金片所需要的移动步数都是前一个的两倍。第一个金片只需移动一下，但随后移动的金片所需的步数呈几何级数增长，所以到第64个金片时，总共所需要的移动步数与西萨要求的麦粒的数量一样多。

将婆罗门之塔上的64个金片从一根针上全部转移到另一根上面需要花费多长时间呢？假设僧侣们全年无休，夜以继日地工作，每秒可以移动一步，而一年大约有31558000秒，因此大约需要超过5800亿年的时间才能完成这项工作。

将这个纯粹传说中的宇宙周期的预言与现代科学的预测略做对比倒是挺有趣的。根据现代宇宙进化理论，恒星、太阳和行星，也包括我们的地球，都是由一些无定形的物质于大约30亿年前形成的。我们也知道，给恒星，尤其是太阳提供能量的“核燃料”还能再维持100亿到150亿年

文字记载中所提及的最大的数字可能就是来自著名的“印刷行问题”了。假设我们制造出一台打印机，这台机器可以打印出一行又一行的文字，并且打印每一行时都会自动选择一种不同的字母与印刷符号组合，该机器由很多单个的边缘刻有字母和数字的圆盘组合在一起，圆盘之间像汽车的里程表那样连接，这样每当一个圆盘转动完一周，就会带动下一个圆盘向前转一个符号，每转动一下，随着滚筒转动带动纸张前移，一行文字就被打印上去了。要做这样一台自动打印机并不难。

现在我们让这台机器运行，并看一看它打印出来的不计其数又各不相同的字符行，其中大部分都没有什么意义，它们看起来是这样的：

“aaaaaaaaaaa...”

或者是：

“boobooboobooboo...”

又或者是：

“zawkporpkossscilm...”

但是既然这台机器打印出了所有的字母与符号组合，所以在这堆毫无意义的垃圾中我们会发现一些有意义的句子，当然其中有很多都是胡言乱语。

例如：

“horsehassixlegsand...”

或者是：

“Ilikeapplescookedinterpentin...”

但是仔细找找，其中一定也包括了莎士比亚所写的每一行文字，甚至包括那些被他扔进废纸篓里的草稿纸上的句子。

事实上，这台打印机可以打印出人类自学会书写以来所写出的所有语句：每一行散文，每一句诗，报纸上的每一篇社论和每一则广告，每一篇冗长的科学论文，每一封情书，每一份给送奶工的留言……

不仅如此，这台机器还能打印出未来将要被印出的文字。我们在那张滚筒下的纸上可以找到30世纪的诗歌、未来的科学发现、将会在第500届美国国会上发表的演讲，以及2344年星际交通意外的统计数量。还会有一篇又一篇尚未被创作出来的短篇故事和长篇小说。如果出版商们的地下室里有这样一台机器，他们要做的只是从垃圾堆中挑选出好的片段加以编辑就好了—反正他们现在差不多也在做这样的事情！

为什么不能这么做呢？

让我们统计一下要将所有的字母与印刷符号的组合全部写下来需要多少行。

英语中有26个字母、10个数字和14个常用符号，一共50个符号。让我们假设这台机器上有65个轮盘，与每一行平均有65个位置一一对应。一行中的第一个字符可能是以上50个字符中的任意一个，也就是有50种可能性，每一种可能性中跟着的第二个字符也可能是以上50个字符中的任意一个，这又是50种可能性，到此，总共有50×50=2500种可能性。而对于这前两个字符的每一种可能性，第三个字符也仍有50种可能性，以此类推。所有可能的组合的行数可以用以下算式表达：

50乘上65次

50×50×50×…×50

或者是：

50

也等于：10

为了更直观感受一下这个数字的浩大，我们可以假设宇宙中的每一个原子都是一台打印机，这样我们就有3×10

看来，要从这些自动打印出的材料中选出点什么确实要花相当长一段时间了。

2．如何计算无穷数

在上一部分我们讨论了数字，其中很多是相当大的数字。如西萨所要求的麦粒的数目，这些数字巨人虽然都大得不可思议，但它们都是有限度的，只要时间充分，我们就可以将其精确地记录到最后一位小数。

但是有一些数字是无穷大的，比无论我们花费多长时间所写下来的数字都大。“所有数字的数量”显然是无穷的，“一条线上几何点的数量”也是无穷的，除了它们都是无穷的，还有别的方法可以描述这些数字吗？例如，可以比较两个无穷数哪一个更大吗？

“所有数字的数量更大还是一条线上点的数量更大？”这样的问话有意义吗？这些乍一看很有趣的问题是由著名数学家格奥尔格·康托尔

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要讨论无穷数的大小，我们首先要面临一个问题，即对我们所说出的或写下的两个数进行比较，某种程度上类似于霍屯督人查看宝箱，想要知道自己拥有多少玻璃珠或铜币。但是，你应该还记得，霍屯督人最多只能数到3。那么既然他不会数到更多，他应该放弃比较玻璃珠的数量和铜币数量吗？当然不是，如果他足够机智，他完全可以将珠子与铜币一个一个地比较后得出答案。他将一个珠子与一枚硬币放在一起，第二个珠子与第二枚硬币放在一起，以此类推，如果最后珠子用完了而硬币还有剩余，那么他就可知自己拥有的铜币的数量多于玻璃珠；反之，则他拥有的玻璃珠数量更多；如果两者同时用完，那么他所拥有的两种东西数量就一样多。

康托尔提出来的比较两个无穷数的大小的方法与此一模一样：如果我们将两个无穷数所代表的对象集合进行配对，这样一个无限集合中的每一个对象都与另一个无限集合中的一个对象配成一对，到最后两个集合中都没有多余的对象，那么代表这两个集合的无穷数就是相等的。但是，如果其中一个集合有剩余，那么我们就可以说代表这个集合的无穷数比代表另一个集合的无穷数更大，或者说更强。

这明显是最合理的，也是唯一实际可行的用来比较无穷数量的办法，但是当我们真正运用这个方法时，可能会产生意想不到的结果。以所有的奇数和所有的偶数两个无穷数列为例，你肯定会直觉地认为奇数的数量和偶数的数量是一样的，运用上述的方法也是完全合理的，因为它们直接可以建立一一对应的关系：

在这个表上，每一个奇数都有一个偶数与之对应，反之亦然。因此，奇数的数量与偶数的数量是相等的，看起来相当简单！

但是，且等一下，所有数字，包括奇数和偶数的数量和仅仅所有偶数的数量相比，你认为哪一个更大呢？你当然会认为所有数字的数量更大，因为它不仅仅包含了所有偶数的数量，还包含了所有奇数的数量。但这只是你个人的判断，为了得到确切的答案，你必须用上述方法将两个无穷数进行比较。而如果你用了该法则，你会惊讶地发现你的判断是错误的。实际上，所有的数字与所有的偶数也可以建立一一对应的关系，正如下表所示：

根据我们的无穷数比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。当然，这听起来有些荒谬，因为偶数只是所有数字的一部分，但是，别忘了我们这里所处理的是无穷数，所以必须对遇到的不同的特性有所准备。

实际上，在无穷数的世界里，“部分可能等于整体”！关于著名的德国数学家大卫·希尔伯特

“让我们想象有一家旅舍，里面房间数是有限的，并假设所有房间都已客满。这时来了一个新客人想要订一间房，‘很抱歉，’老板会说，‘但是已经客满了。’现在让我们想象一个有无数房间的旅舍，并且所有的房间也已客满，而这时也来了一个新客人想要订一间房。

“‘当然可以！’老板喊道，然后他将占据了1号房间的人移到2号房间，将2号房间的人移到3号房间，将3号房间的人移到4号房间，以此类推。然后，经过这一番转移，1号房间空了出来，新房客就住到了里面。

“让我们想象一个有无数房间的旅舍，所有房间已客满。这时来了无限数目的新客人想订房。

“‘好的，先生们，’老板说，‘少安毋躁。’

“他将1号房间的客人移到2号房间，将2号房间的客人移到4号房间，将3号房间的客人移到6号房间，如此等等。

“现在所有编号为奇数的房间都空了出来，可以轻松地将无限多的新客人安置其中。”

因为当时正处于战争时期，即使在华盛顿，希尔伯特所描述的状况也很难被人理解，但是这个例子生动形象地描述出无穷数的特性与我们平时算术中所遇到的状况截然不同。

按照康托尔比较两个无穷数的法则，我们现在可以证实，所有的如

“好吧，这些都很有意思，”你可能会说，“但是这是不是意味着所有的无穷数都是相等的呢？如果是的话，它们之间还有什么好比较的呢？”

不，并不是这样的。我们可以轻松找出一个比所有的整数的数量和所有的分数的数量都大的无穷数。

实际上，如果我们将本章前面所提到的一条线上所有点的数量问题与所有整数的数量进行对比并加以研究，我们会发现这两个无穷数是不相等的，一条线上点的数量要多于所有整数的数量或分数的数量。为了证实这一结论，让我们试着将一条长度为1英寸的线段上的所有的点与整数序列建立一一对应关系，每一个点都可以用它到线段的一个端点之间的距离来表示，而这个距离可以被写成无穷小数的形式，例如，0.7350624780056…或者是0.38250375632…

你一定还记得算术课上学的所有的普通分数都可以转换成一个无限循环小数，如

假设有人声称他已经建立好这样的关系，如下表所示：

N

10.38602563078…

20.57350762050…

30.99356753207…

40.25763200456…

50.00005320562…

60.99035638567…

70.55522730567…

80.05277365642…

·…………………………

·…………………………

·…………………………

当然，要将所有的整数和所有的小数挨个写下来是不可能的，所以能做出上述声明意味着作者要遵循某种规律来构建上述表格，并且这个规律必须保证所有的小数早晚都会出现在这张表格上。

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但是，我们总是可以写出一个不在上述表格中的无穷小数，所以可以轻而易举地证明任何一个这样的声明都是站不住脚的。那么要怎么写呢？噢，很简单！只要在第一个小数位写上与表中1号小数的第一位数不同的数，第二小数位上写上与2号小数的第二位数字不同的数，并以此类推。你写下来的数字可能是这样的：

并且无论你怎么找，这个数字都不在上面的表格里。如果表的作者告诉你，你写的这个数字在他的表格中位列137号，你可以立刻回答：“不是的，你表格中的137号小数的第一百三十七位数与我的小数的第一百三十七位数不一样。”

因此，线段上的点与所有的整数之间是无法建立一一对应关系的，这也表明“代表一条线上所有的点的无穷数要大于，或者说强于代表所有整数或分数数量的无穷数”。

一直以来，我们讨论的都是长度为1英寸的线段上的点数，但是，根据我们的“无穷数算术”法则，我们很容易证明任何长度的线都是一样的。事实上，“无论一条线长1英寸、1英尺还是1英里，上面的点的数量都是一样的”。图1可以证明这一点，图中将两条不同长度的线段AB和AC上的点的数量进行比较。为了建立两条线之间的一一对应关系，我们过AB上的每一个点作BC的平行线，将平行线与AB和AC的交点进行两两配对，例如，点D和D′，点E和E′，点F和F′，等等。AB上的每一个点，在AC上都有一个与之对应的点，反之亦然。这样根据我们的法则，代表这两条线段上的点的无穷数是相等的。

通过对无穷数的分析，还可以得到一个更难以置信的结论：“一个平面上所有的点的数量与一条线上所有的点的数量是相等的。”为了证明这个结论，让我们来看一下一条长度为1英寸的线段AB上的点和边长为1英寸的正方形CDEF上的点。

假设用一个数字，如0.75120386…来表示线段AB上某个点的位置，我们可以将这个小数上的奇分位和偶分位上的数字分别选出来组成两个新的小数，得到了0.7108…和0.5236…。

在正方形CDEF中测量出这两个数字所代表的水平距离和垂直距离，从而得到一个点，我们称之为原来线段上的点的“对偶点”；反过来，我们取正方形内一点，假设其以0.4835…和0.9907…表示，如果我们将这两个数字合并，就可以得到该点在线段上相应的“对偶点”0.49893057…。

显然，两组点在这一过程中建立了一一对应的关系。线段上的每一个点都在平面上有一个对应点，平面上的每一个点也都在线段上有一个对应点，一个多余的点也没有。根据康托尔准则，代表一个平面上所有点数的无穷数与代表一条线上所有点数的无穷数是相等的。

用类似的方法就不难证明代表一个立方体里所有点的数量的无穷数与代表一个平面或一条线段上的所有点的数量的无穷数也是相等的。要做到这一点，我们只需要将最开始的小数分成三个部分

虽然几何点的数量比所有整数或分数的数量大，但它还不是数学家们所了解的最大数字。事实上，人们已经发现，所有的曲线的样式总数比所有几何点的数量还要多，因此被描述为第三级无穷序列。

作为“无穷数算术”的创造者，康托尔认为可以希伯来字母来表示无穷数，右下角的数字则用来表示这个无穷数的等级。这样，所有的数就排列为：

1，2，3，4，5，…，

而且我们就可以像说“世界上有七大洲”或“一副扑克牌有54张”一样来陈述“一条线上有

总结一下我们关于无穷数的讨论，我们指出只需几个等级就可以容纳我们所能想到的所有无穷数。我们认为代表所有整数和分数的数量，

似乎这三个无穷数已足以数完所有我们能想到的数，这正好与我们的老朋友—有很多数要数却只能数到3的霍屯督人的情况完全相反。

(1)以目前最大的望远镜所能达到的范围来计算。

(2)译者注：Archimedes，古希腊哲学家、数学家、物理学家。

(3)译者注：Syracuse，西西里岛上的一座城市，阿基米德的出生地。

(4)译者注：AristarchusofSamos，古希腊第一个著名天文学家，最早提出日心说的人。

(5)Stadia：希腊长度单位，1希腊里相当于606英尺6英寸，即188米。

(6)

或者简单地记为10

(7)这位聪明的宰相所要求的麦粒的数量可以用以下式子表达：

1+2+2

在算术中，一个数列中的每一项都等于前一项乘上一个常数，那这就是一个等比数列。在等比数列中，所有项之和可以用该常数的项数次幂减去第一项然后除以上述常数与1的差，在本例中可以这样表示：

直接写出来就是18446744073709551615。

(8)译者注：WalterWilliamRouseBall，通常被称作W．W．R．Ball，英国数学家。

(9)引自：鲍尔《数学游戏与欣赏》。

(10)译者注：Benares，印度北部城市，著名的印度教圣地。

(11)如果我们只有7个圆盘，则需要的步数是：

1+21+22+23+…，或者2

如果你非常迅速且无误地移动圆盘，大概需要一个小时才能完成这项任务。如果有64个圆盘，那么需要移动的总步数就是：

2

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这正好是西萨所要求的麦粒的数目。

(12)见本书第十一章“初创之日”。

(13)译者注：GeorgCantor,1845—1918，德国数学家，主要贡献是集合论和超穷数理论。

(14)译者注：DavidHilbert,1862—1943，德国著名数学家，被称为“数学界的无冕之王”。

(15)选自R.柯朗从未发表过甚至从未见诸文字但是广泛流传的《希尔伯特故事全集》。

(16)我们假设线段长度为1，所以这里所有分数都应小于1。

(17)比如从

0.735106822548312…

我们可以得到：

0.71853…

0.30241…

0.56282…

第二章自然数和人工数

1．最纯粹的数学

数学通常被人们，尤其是数学家们，看作是科学中的女王，而作为女王，她自然要尽量避免屈就于其他学科。举例来说，希尔伯特在参加一次“纯数学与应用数学联合大会”时，受邀发表一次公开演讲，以打破这两派数学家之间的敌对状态，他是这样说的：

“经常有人说纯数学和应用数学是彼此相对的。这句话不对，纯数学和应用数学并不是互相对立的，这两者之前没有互相对立过，以后也不会互相对立，这是因为纯数学和应用数学之间没有任何共同点，根本没有可比性。”

虽然数学家们希望保持数学的纯粹性，对其他学科敬谢不敏，但是其他学科，尤其是物理学却颇为青睐数学，竭力与其建立“友好关系”。事实上，现在纯数学的每一个分支几乎都被用来解释物理宇宙中的这个或那个特性。其中包括抽象群理论、非交换代数、非欧几何这种一直被认为是绝对纯粹，不会有任何实用性的科目。

然而，迄今为止，数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用，简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”，数学中最古老的分支之一，也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。

不可思议的是，作为数学中最纯粹的一部分，数论从某个方面来说却可以被称为一门经验科学甚至是一门实验科学。事实上，数论中的大部分定理都是人们在处理不同的数字问题时构思出来的，正如物理学中的定律是人们处理与实物相关的问题得到的成果。而且也像物理学一样，数论中的一些定理已经“从数学的角度”得到了证实，还有一些却仍停留在纯经验阶段，挑战着最优秀的数学家的大脑。

以质数问题为例，所谓质数，就是不能用两个或两个以上比其更小的数字的乘积来表达的数字。像1，2，3，5，7等这样的数就是质数，而12就不是质数，因为12可以被写成2×2×3。

质数的数量是无限的，还是存在一个最大质数，所有比之大的数都可以用我们已知的几个质数的乘积来表示？这个问题是欧几里得

为了验证这个问题，我们假设所有已知质数的数量是有限的，并用字母N来表示已知的最大质数，现在让我们计算所有已知质数的乘积并加1，用以下算式表示：

(1×2×3×5×7×11×13×…×N)+1

这个数当然比我们所提出的最大质数N要大得多，但是，这个数显然不可能被我们已知的任何质数整除，因为从它的结构来看，用其他任何质数来除这个数都会留下余数1。

因此，这个数字要么本身就是个质数，要么就必须能被比N还大的质数整除，但这两种情况都与我们最开始的假设“N为已知的最大质数”相矛盾。

这种检验方法叫作归谬法，也叫反证法，是数学家们最喜欢用的方法之一。

既然我们已经知道质数的数目是无穷的，我们就要自问，是否有什么简便方法能把所有的质数一个不落地挨个写下来呢？古希腊哲学家兼数学家埃拉托斯特尼

但是，如果能提炼出一个只能演算出质数的公式，并且能快速且自动地演算出所有的质数，那就更加简便了。然而经过了多少世纪的努力，人们还是没有得到一个这样的公式。1640年，著名的法国数学家费马

在他的公式

用这个公式，我们发现：

以上每一个数都是质数。但是自费马的结论公布了一个世纪以后，德国数学家欧拉

还有一个可以推算出很多质数的公式也值得一提：n

其中，n也是指1，2，3等这样的数。人们已经证实，当n在取1到40之间的数时，以上公式的结果都是质数，然而不幸的是，当n取41时，这个公式就失效了：

事实上，(41)

还有一个失败的公式是：

n

当n取79及以下数值时得到的都是质数，但n取80时就无效了。

因此，找到一个能只推算出质数的通用公式的问题仍然是一个未解之谜。

数论中还有一个有趣的理论至今既没有被证实也没有被推翻，这就是哥德巴赫1742年提出的“哥德巴赫猜想”，其声称：“任何一个偶数都可以表示成两个质数之和。”以一些简单的数字为例，你不难发现这句话是对的，如12=7+5，24=17+7，32=29+3。虽然数学家们在这个问题上做了大量工作，但还是没能给出一个决定性的证据证明这一陈述是绝对无误的，也没能找出一个反例证明其是错的。就在1931年，苏联数学家施尼勒尔曼

好吧，看来想要导出一个能自动计算出所有的以及任意大的质数的公式，我们还任重而道远，更何况我们还不能保证这样的公式一定存在呢。

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我们可以问一个稍微简单点的问题—关于在给定的数值区间内质数所占的比例的问题。随着数字变大，这个比例是否会一直保持不变呢？如果变的话，是会增大还是减小呢？我们可以通过统计在不同区间内的质数的个数，从经验主义的角度试着来解决这个问题。我们发现，取值在100以内有26个质数、1000以内有168个质数、1000000以内有78498个质数、1000000000以内有50847478个质数，用这些质数的数量除以与其对应的数值区间里整数的数量，我们得到以下表格：

首先，从这个表中可以看出，随着数值区间变大，质数所占的比例减少了，但并不存在一个质数的终止点。

数学上有没有一种简单的方法来描述这一随着数值增大而减小的比例呢？不仅有，而且质数平均分布的规律是整个数学领域最了不起的发现之一。简单来说，就是“从1到任何大于1的数字n之间质数所占的比例约等于n的自然对数”

上表中第四列就是n的自然对数。如果你将其与第三列的数值对比一下，就会发现这两列的值很接近，并且n越大，就越接近。

正如数论中的很多其他理论一样，上述质数理论最开始是从经验主义的角度提出的，在其后很长一段时间里都无法用严格的数学方法加以证实。直到19世纪末，法国数学家阿达马

既然讨论到整数，就不得不提一提著名的“费马大定理”，这可以作为讨论与质数特性无关的问题的一个例子。这个问题的根源要追溯到古埃及，当时所有优秀的木匠都知道，一个边长之比为3:4:5的三角形一定有一个直角。他们就用这样的三角形，现在被称为埃及三角形，作为自己的角尺。

3世纪时，丢番图

1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》的新法语译本，书中就讨论了毕达哥拉斯三角形。他阅读时在旁边做了一处简短的笔记，其大意是，虽然等式x

“我已经找到了一个绝妙的证明方法，”费马写道，“但是这里太窄了，写不下。”

费马逝世后，人们在他的资料室里发现了这本丢番图的著作，留白处的笔记内容才得以问世。那是三个世纪以前的事了，自那时开始，全世界最卓越的数学家们都曾试着重现费马在笔记中提到的他所想到的证明方法，但至今仍没有定论。但毋庸置疑，朝着这个最终目标，人们已经取得了巨大的进步，同时，在试图证明费马理论的过程中，还诞生了一门被称为“理想数理论”的全新数学分支。欧拉证明了方程x

当然，这个理论仍然有可能是错误的，只要找出一个例子，其中两个整数的n次幂之和等于第三个整数的n次幂就可以了。但是要找到一个指数n必须是大于269的数字这样的研究可不简单。

2．神秘的

现在让我们来做一点高级算术题。二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，因此，四的算术平方根是二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。

但是一个负数的平方根应该是多少呢？像

如果你理性地分析一下，就会毫不犹豫地断言以上式子没有任何意义。引用12世纪数学家布哈斯克拉的话说就是：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根有两个，一个正的，一个负的。因此负数没有平方根，因为负数不是二次幂。”

但是数学家们都很执着，如果一个看起来毫无意义的东西不停地在他们的公式中出现，他们就会竭尽所能赋予其某些含义。负数的平方根就不停地出现在各个地方，不论是过去的数学家所面对的简单算术问题还是20世纪相对论框架下的时空统一问题都可见其身影。

第一个将明显毫无意义的负数的平方根写进公式里记下来的勇士是16世纪的意大利数学家卡尔达诺

在写上面的式子时，卡尔达诺明知道它们毫无意义，是虚构的，不存在的，但他还是写下来了。

而既然有人敢把负数的平方根写下来，即便是虚构的，将10分为乘积为40的两部分的问题也就有解了。一旦僵局被打破，即使还有所保留并给出正当理由，数学家们还是越来越频繁地使用负数的平方根，或者叫卡尔达诺后来命名的“虚数”。

在德国数学家欧拉于1770年发表的代数学著作上，我们发现了大量的虚数的应用。但是他又解释：“所有像

即使得到了这样的非难和评判，很快，虚数还是像分数和根数一样成了数学中不可避免的一部分。倘若不用它，那简直是寸步难行了。

可以说，虚数是普通数或实数的虚构镜像，而且，就像我们可以由基数1得到所有的实数一样，我们也可以由基本虚数单位

显而易见，

虚数自闯入数学领域两个多世纪以来，一直笼罩着一层神秘的面纱，直到最后两位业余数学家为其做出了简单的几何解释。这两个人就是挪威测量师韦塞尔和巴黎会计师阿尔冈。

根据他们的解释，一个复数，例如3+4i，可以像图4那样表示出来，其中，3对应着水平距离，即横坐标；4对应着垂直距离，即纵坐标。

所有的普通实数都可以用横轴上对应的点来表示，而纯虚数则用纵轴上对应的点来表示。如果我们把代表横轴上某点的一个实数，例如3，乘以虚数单位i，就可以得到一个位于纵轴上的纯虚数3i。因此，“将一个实数乘以i，在几何学上相当于将其对应点逆时针旋转90度”。

现在，如果我们把3i再乘以i，则需要再旋转90度，这样得到的点又回到了横轴上，但是位于负数那一边。因此，3i×i=3i

因此，“i的平方等于-1”这样的陈述就比“旋转90度两次你就会面对相反的方向”好理解多了。

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当然，同样的规则也适用于实虚混合的复数。将3+4i乘以i我们会得到：

(3+4i)×i=3i+4i

而且，从图4中你可以一眼看出来，点-4+3i是点3+4i以原点为中心逆时针旋转90度后的对应点。同理可证，从图4上也能看出，将一个数乘以-i就相当于将其以原点为中心顺时针旋转90度。

如果你还是觉得虚数笼罩着一层神秘的面纱，那么通过解决一个虚数实际应用的简单问题，可能会帮助你揭开这层面纱。

有一个年轻的冒险家在他的曾祖父的文件中找到了一张绘有藏宝图的羊皮纸，上面写着：

“乘船到北纬___，西经___

这些指示相当清楚明白，所以这个年轻人租了一条船航行到南海。他找到了荒岛、草地、橡树和松树，但是令他郁闷的是，绞刑架不见了。自藏宝图绘制以来已经过去很长时间，风吹日晒雨淋已经使得木头风化，重归大地，甚至连曾经存在的痕迹都没有留下。

我们这位年轻的冒险家陷入了绝望当中，在愤怒与疯狂中，他满地乱挖起来，然而一切都是徒劳的，这个岛太大了！所以他只能空手而归。而宝藏可能还被埋在那里。

这是一个遗憾的故事，而更令人遗憾的是，如果这个年轻人略懂数学，尤其是虚数的用法，他可能已经找到了宝藏。让我们看看是否能帮他找到宝藏，尽管对他来说为时已晚。

将岛看作一个复数平面，过两棵树画一条坐标轴，然后过两树之间的中点作实数轴的垂线作为虚数轴。用两树距离的一半作为我们的单位长度，这样我们就可以说橡树在实数轴的-1点上，而松树在+1点上。我们不知道绞刑架在哪里，所以我们用希腊字母Γ表示它的假设位置，这个字母甚至有点像绞刑架。由于绞刑架不一定在两个坐标轴上，所以我们必须将Γ看作一个复数：Γ=a+bi，图5解释了a和b的意义。

现在让我们来做一些简单的算术，同时别忘了之前讲到的虚数的乘法法则。如果绞刑架在Γ，橡树在-1，两者之间的距离可以表示为：-1-Γ=-(1+Γ)。同理，绞刑架和松树之间的距离可以表示为：1+Γ。为了将这两个距离分别顺时针以及逆时针旋转90度，根据上述法则，我们必须将它们乘以-i和i，这样才能找到我们需要做标记的两个点：

第一个标记点：(-i)+1=i(Γ+1)-1

第二个标记点：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)+1

由于宝藏在这两个标记点中间，我们现在必须计算出上面两个复数的和的一半，我们就得到了：

现在我们可以看出来，用Γ所表示的绞刑架的未知位置在计算过程中被抵消了，并且，无论绞刑架在哪儿，宝藏一定被埋在点+i那里。

所以，如果我们年轻的冒险家当时若做一点这样简单的数学计算，他就不需要挖遍整个荒岛，而大可直接去图5画×的点上挖掘宝藏，并且一定能在那里找到宝藏。

如果你还是不相信根本不需要知道绞刑架的位置就可以找到宝藏，你可以找一张纸，在上面画出两棵树的位置，假设绞刑架在几个不同的位置上，然后分别试着根据羊皮纸上的信息一步步往下走。最后你一定会得到同一个点，正是复数平面上+i所在的点！

使用-1的虚构平方根，人们还发现了另外一个隐藏的宝藏，一个不可思议的发现：我们的普通三维空间可以与时间合二为一形成一个符合四维几何规律的四维图像。我们将在下一章讨论爱因斯坦的思想及他的相对论时再详述这一发现。

(1)译者注：Euclid，古希腊著名数学家，活动于公元前300年前后，著有《几何原本》。

(2)译者注：Eratosthenes，公元前276—前194，古希腊数学家、天文学家、地理学家。

(3)译者注：PierredeFermat,1601—1665，法国著名律师和数学家，主要成就为费马大定理、解析几何的基本原理。

(4)译者注：LeonhardEuler,1707—1783。

(5)译者注：LevSchnirelmann,1905—1938。

(6)简单来说，将表中的普通对数乘以常数2.3026就可以得到其自然对数。

(7)译者注：JacquesSolomonHadamard,1865—1963，以素数定理闻名。

(8)译者注：LouisdeLaVallée-Poussin,1869—1938。

(9)在小学的几何学课程上，毕达哥拉斯定理是这样呈现的：3

(10)译者注：DiophantusofAlexandria，约公元246—330，代数学创始人之一。

(11)运用丢番图的理论（取a和b两个数并且2ab为完全平方数。设

3

5

6

7

8

9

9

10

(12)译者注：Dirichlet，1805—1859，德国数学家。

(13)要算出其他很多数字的平方根也很简单。例如，

(14)译者注：GirolamoCardano,1501—1576，意大利百科全书式学者。

(15)

(16)羊皮卷中给出了实际的经度数和纬度数，但是为了防止泄密，文中将其省略了。

(17)由于同样的原因，这里所提的树的品种也做了改变。一个位于热带的珍宝岛上无疑会有很多其他种类的树。

第二部分

第三章空间的独特性

1．维度与坐标

我们都知道空间是什么，但一旦被问及“空间”这个词所指的准确定义时，我们还是会尴尬地发现自己竟很难说出个所以然来。这时候我们的措辞很可能会是：空间就是环绕着、包裹着我们的所在，且通过它，我们可以在其中进行前后、左右乃至上下的移动。这个由三个相互独立且垂直的方位所组成的存在体，它代表的是我们居住的这个物理空间所具有的最基本的其中的一个属性；这就是我们会称我们所在的空间为三向抑或三维空间的原因。空间里的任何一个位置都可由这三个方向明确地定位出来。若我们现在正身处一座陌生的城市，并向酒店前台询问如何才能找到某个知名公司的办事处，这时候工作人员的回答可能是：“向南面步行五个街区，接着右转经过两个街区，最后再往上爬七层楼。”刚刚这个例子里所给出的三个数通常被认作是坐标，其中涉及了街区与建筑物楼层以及酒店大堂这个原始出发点之间的联系。而很明显的是，通过使用坐标系，同一个地点的方位可由另外的任何一个点指出，这个坐标系将准确地表明新的始发点与终点之间的联系。而只要我们知道新坐标之于已有坐标的相对位置，那么经由简单的数学演算，新坐标就可以通过已有坐标表达出来。这个过程就是所谓的坐标变换。这里可能需做出的补充是，所有的这三个坐标都不需要使用代表一定距离的数字来表示，而实际上，在某些特定的情况下，使用角坐标则会更便利一些。

举例而言，在纽约，街区和道路间相交形成了直角坐标系，那么这就是其最为自然而合理的地址表达方式；而莫斯科的地址体系则必然要通过变换为极坐标才能获得。长久以来，这座古老的城市就是围绕着中央要塞—克里姆林宫发展起来的，故以克里姆林宫为中心，街道向四周呈放射状发展，而与之纵横交错的是几条同心的环形林荫道，所以要是有人描述有一栋房子是位于克里姆林宫宫墙西北偏北方向二十个街区的位置上，这样的说法倒也合乎情理。

另一个关于直角坐标系和极坐标系的经典例子是美国海军部大楼以及华盛顿特区陆军部大楼，因其与“二战”期间的战争部署工作紧密相关，故每个人都很熟悉。

在图6所给出的样例中，经由三个或表示距离或表示角度的坐标，我们展示了如何通过不同的方式来描述一个点在空间中的位置。但不论我们所选用的是何种体系，都需要三个数据来进行定位，因为我们试图解决的是三维空间内的问题。

虽然对我们来说，使用根深蒂固的三维空间概念去想象超空间，即所拥有的维度多于三维的多维空间是一件很不容易的事情，但其实我们很容易就能在脑海中构架出一个少于三维的子空间。一个平面、一个球体的表面，或者其他任何物体的表面，其实都是一个二维空间，因为表面上的一个点，其位置总能由唯一的两个数字表示出来。同样，一条线是一个一维度的子空间，且只需一个数字用于标示其所在位置。我们也可以说一个点就是一个零维度的子空间，原因是在一个点内不存在两个不同的位置。但谁又会对点产生兴趣呢！

作为三维生物，我们会发现要理解线段跟平面的几何属性会更简单一些，因为我们可以“由内而外”看见其全貌，而对于我们更为熟悉的三维空间属性，正因我们身处其中

然而，只要通过一点练习来了解“弯曲率”这个词的真正含义，你就会发现一个弯曲的三维空间这样的概念的确非常简单，而在下一章的末尾部分，你将会甚至是很放松地对一个乍一看似乎很可怕的概念—弯曲的四维空间畅所欲言。

但在我们进行更进一步的讨论之前，让我们先来尝试接触一些有关普通三维空间、二维平面及一维线条的智力训练吧。

2．不用测算的几何学

尽管你记忆中对几何学的了解可能还停留在学生时代，即你对几何学的第一认知可能是：这是一门对空间进行测量

如果需要给出一个简单的拓扑问题方面的例子，我们得先设想有一个封闭的几何面，就拿一个球体的表面来说，这个球体被网状的线分割为诸多不同的区域。

通过在此球体表面定位任意数量的点，并用互不相交的线将这些点都连接起来，这样我们就可以备好一个符合要求的几何体。那么在原始点的数量、代表相邻地域间界线的数量以及区域的数量之间又存在着怎样的关系呢？

首先，我们必须非常明确的就是，若选用的不是常规的球体而是扁平的球体，比如南瓜，或是像黄瓜一样细长的几何体，那么这类球体上点的数量、线的数量以及面的数量和常规球体上的数量皆是一致的。

事实上，通过拉伸、挤压或是做任何我们想要的变形，就可随意塑造出各种闭合的表面。当然，在此过程中，唯独不能进行切割或是撕裂操作，只有这样才能保证这个几何体的构造或我们的问题的答案不发生一丝一毫的偏差。这与几何学上普通的数值关系显然是相反的，形成了鲜明对比。的确，如果我们把一个立方体拉伸成一个平行六边形，或是把一个球捏成薄饼，这个关系就会发生实质上的扭曲。

用这个已划分好区域的球体，我们现在能做的就是将其每个区域都展平开来，让这个球体最终变为一个多面体。这样一来，原先连接各个不同区域的线就变作了这个多面体的棱，而最初任意选取的那些点也变为了多面体的顶点。

那么我们之前的问题需要重新表述为：在一个任意类型的多面体中，其顶点数、棱数以及面数之间存在何种关系？

在图8中，可以看见五个常规的多面体，换言之，所有这些面都拥有同等数量的棱、顶跟面，此外还附上一个仅凭想象画出来的非常规简化多面体。

在这些几何体中，每一个我们都可以数清顶点的数量、边的数量以及面的数量。那么如果这些数值之间存在一定的关系的话，这关系会是什么？

通过直观地数算可列出以下相应的表格。

乍一看，上表前三栏所给出的数值之间似乎并不存在任何相关性，但仔细研究一番之后，你就会发现V栏跟F栏的数值总和总是比E栏的数值要大2。由此我们可得出如下数学关系：

V+F=E+2

那么这样的关系是否只存在于图8所列出的这五个多面体之中，抑或也同样适用于其他任何的多面体？如果你尝试着再画几个其他形状的多面体，并统计一下它们的顶点数、棱数和面数，你将发现以上所得出的这种数学关系存在于每个多面体中。很显然，V+F=E+2就是一个拓扑性质的一般性数学定理，原因是其关系的表达不依赖于其棱边长度或是各个面面积的测量，而只需考虑到其中不同的几何单元的数目即可。

这样的关系只存在于一个多面体的顶点数、棱数以及面数之间，最先注意到这一关系的是17世纪法国的著名数学家勒内·笛卡儿

现在我们一起来看一看欧拉定理。下面是从R.柯朗

为了证明欧拉公式，我们得先设想所给定的简单多面体是空心的，且其各个面均由薄橡胶制成。那么如果切除这个空心多面体的其中一个面，我们就可以将其余的面进行形状变换，拉伸至所有面都平铺在同一平面上。当然，在此过程中，多面体的各个面与角度之间的区域也会随着改变。但平面中的这个由顶点和棱所组成的网囊括的顶点数与棱数却是不会变的，只是多面体数会比之前少一个，这是因为在变形的过程中有一个面被移除了。这样一来，我们应该就能看出，对于平面网来说，V-E+F=1

首先我们需要按如下方式将网状平面“进行三角形化”，也就是在此网状平面中，为形状不是三角形的多边形添加对角线。结果就是：E和F两者都增加了1，这样一来就保证了V-E+F的值恒定不变。现在我们继续添加对角线，将成对的点都连起来，直到此多边形完全变为内含三角形的图形为止，这才是我们最终要的效果。在进行三角形化的网状图中，V-E+F的值跟还未进行三角划分前的值一样，原因是进行对角线划分并不会改变这个数值。

有些三角形的边分布在网的边线上，与之重合。当然，还有些像三角形ABC这样的，只有一边位于边线上，以边线为三角形的其中一边，而另外一些三角形则可能有两条边与网的边线重合。我们取任意一个边线三角形，并去掉其中不属于其他三角形的部分。这样在三角形ABC中，我们就移除了AC这条边以及这个面，而留下了顶点A、B、C以及AB和BC两条边；从三角形DEF中，我们需要移除三角形DEF这个面，以及DF、FE两条边和顶点F。

在对ABC这类三角形的移除过程中，E跟F都减少了1，而V则不受影响，由此得出V-E+F的值不变。在DEF这类三角形的移除过程中，V减少了1，E减少了2，F减少了1，由此得出V-E+F的值再次保持不变。以适当的方式进行此类操作，我们可渐次移除边线三角，一直到最后只剩下一个三角形为止，亦即最终只剩下三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网来说，V-E+F=3-3+1=1。但我们已经知道，V-E+F不会随着三角形的减少而发生改变。因而在最初的平面网中，V-E+F也必须是等于1的，且这样一来，对于少了一个面的多面体来说，这样的相等关系也还是存在的。我们于是得出如下结论：V-E+F=2适用于完整无缺的多面体。这样就完全支撑了欧拉公式。

欧拉公式中存在一项有趣的求证，即只可能存在五个常规多面体，也就是图8所示的各个多面体。

仔细回顾前几页所述的内容，你可能会注意到在画图8所示的各种多面体以及寻找证据以支撑欧拉定理的过程中，我们先做了一个隐含假设，结果导致我们的选择受到了很大的限制。也就是说，一直以来，我们习惯于将自己局限于多面体，不会有任何的洞透过其间。我们这里所说的洞，并不是那种橡胶气球上撕去一块而产生的洞，而是指甜甜圈或闭合的橡胶轮胎中间的空洞。

让我们来看一下图10，图10将会为您澄清这个情况。在图中我们可以看见两个不同的几何体，其中任何一个都与图8中所展示的几何体一样，都是多面体。

现在让我们来看看欧拉定理是否适用于这两个新的多面体。

在所给出的第一个案例中，一共有16个顶点、32条棱以及16个面。这样的话，V+F=32，而E+2=34。在第二个案例中，通过计算我们得知这个多面体共有28个顶点、60条棱和30个面，那么相应地，V+F=58，而E+2=62。这又不对了！

那么为什么会这样呢？在上面所给出的例子中，为什么我们按欧拉定理给出的一般依据会不适用呢？问题到底出在哪里？

当然，问题就在于我们一直以来所研究的多面体可以看成一个球胆或气球，而这种新型的中空式多面体却更像是一个轮胎内胎或是橡胶制品中构造更为复杂的某种成品。

对于后面提到的这类多面体，以上所给出的数学证明就不适用了，原因是，对这种类型的几何体我们无法进行证明所需的所有步骤。所以，在实际生活中，遇到此类情况我们会被要求：“切除中空多面体的其中一个面，还要将余下的面都拉伸变形直至平摊到同一个平面上。”

如果你用剪刀剪去足球表面的一部分，你同样可以满足这个证明步骤。但如果你选用的是一个轮胎内胎的话，那么不管你多努力地做出尝试，你都不可能满足上述证明步骤。要是观察图10还不能让你完全信服这一点的话，你倒是可以换一个旧轮胎亲自试试！

但是，一定不要想当然地认为对于较复杂的多面体来说，V、E和F之间就不存在任何关系了，关系肯定是存在的，只是有别于之前的关系罢了。而对于甜甜圈状的，抑或更科学严谨一点说，对于环形曲面状的多面体而言，计算公式V+F=E派得上用场。而对于椒盐卷饼状的多面体，我们又需要V+F=E-2这样的公式。一般而言，在V+F=E+2-2N中，N表示的是透洞的数量。

另一类与欧拉定理密切相关的典型拓扑式问题是所谓的“四色问题”。

假设我们现在有一个表面被细分为数个区域的球，且需要给这些区域都标注上特定的颜色，还要求任意两个相邻的区域的颜色不尽相同。那么，面对这样一项任务，我们将使用到的色调中，用量最少的会是什么颜色？很显然，当三条边界都归于一点时，一般而言，两种颜色是不够用的，要为三个区域上色，必须用到三种不同的颜色。

而要找一个同时含有四种颜色的地图也不难

不管你怎么尝试，你都绝不可能靠想象构建一张需要四种以上色调上色的地图，不论这地图是放在地球仪上来看还是放平在纸张

如果最后的这个陈述是真的，那它一定能经由数学证明有效。但不论经过了多少代数学家的努力，最终的证明都没能给出。这属于那种实际生活中无人怀疑，但数学上却无人能证明的典型数学案例。现在，我们最多能成功地经由数学证明有五种颜色就足以应付所有会出现的情况。这个证明是基于对欧拉定理的实际应用做出的，证明的过程中考虑到了国家的数量、相应国家边界的数量，以及几个国家聚在一起时三倍、四倍等数量的交点。

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