你可能不知道隐藏在杨辉三角形中的 10 个秘密！

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，而书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。古代波斯数学家欧玛尔·海亚姆也描述过这个三角形。在欧洲，因为法国数学家布莱兹帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal'striangle)。

杨辉三角的前10行写出来如下：

杨辉三角的构建

美联储会议纪要：“几乎所有”美联储官员都同意6月暂停加息:金色财经报道，美联储会议纪要显示，美联储官员一致同意在6月会议上维持利率不变，以争取时间并评估是否需要进一步加息，尽管多数委员预计最终需要进一步收紧政策。虽然“一些参与者”希望在6月份加息，因为抑制通胀的进展缓慢，但“几乎所有参与者都认为维持”现有的5%至5.25%的联邦基金利率是合适或可以接受的。“大多数与会者认为，在这次会议上保持目标区间不变，将使他们有更多时间评估经济进展，”朝着将通胀从目前的两倍多的水平恢复到2%的目标迈进。[2023/7/6 22:19:59]

在最上面一行的中央写下数字1第二行，写下两个1，和上一行形成三角形随后的每一行，开头和最后的数字都是1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。

ETH.LIMO 域名现已恢复:金色财经报道，ENS 域名解析服务运行商 ETH.LIMO 发推称，域名隐私提供商 Njalla 已恢复其 http://eth.limo 域名。此前，因其新的支持人员的错误行为，Njalla 将其 NS 记录改为指向一个停放服务，尽管可以访问其账户与管理电子邮件，但域名管理功能已被禁用。[2023/3/27 13:28:14]

左对齐后的杨辉三角前两列倒没什么特别的地方，第一列均为1，第二列则为自然数。而第三列就是三角形数(Triangularnumber)。你可以想到，三角数就是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，如下图所示。

知识产权律师：Yuga Labs拥有BAYC版权及授予BAYC NFT持有者使用其IP的权利:2月1日消息，与多个NFT项目密切合作的长期版权和知识产权律师Jeremy Goldman发文解释有关Yuga Labs向持有人授予IP许可是否有效的问题。

Goldman表示，首先Yuga Labs拥有BAYC的版权，当原创作品被固定在有形的表达媒介中时，版权自动产生，其中包括存储在计算机内存中的数字艺术，无论是否经过行政注册。其次，Yuga Labs拥有与BAYC NFT相关的数字艺术品的版权，并有权授予BAYC NFT持有者对数字艺术品的所有权以及将艺术品用于商业和其他目的的许可。[2023/2/1 11:40:00]

三角形数(图自维基)类似地，第四列是四面体数(Tetrahedralnumber)，也叫三角锥体数。顾名思义，它们代表由三角形构成的四面体所需要的点的数目，四面体数每层为三角形数。

SEC与Ripple诉讼案进展：本案或不会进入庭审阶段:9月23日消息，在最近一次采访中，Ripple首席执行官Brad Garlinghouse对本次诉讼案表达了积极的态度。他预测本案不会进入庭审阶段，因为他认为法官有足够的证据在没有陪审团的情况下作出裁决。他表示，“在事实存在不确定性的情况下，将由陪审团作出审判。本次事实没有争议。”若进展顺遂其意，该案件将不会送交陪审团审判。（u.today）[2022/9/24 7:17:46]

图自维基秘密Billions项目组3：11的幂

TRON DAO Reserve昨晚销毁了约2900万枚TRX并铸造了200万枚USDD:金色财经消息，TRON DAO Reserve表示其于昨日晚间销毁了约2900万枚TRX并铸造了200万枚USDD。[2022/7/18 2:20:52]

杨辉三角还揭示了11为底的幂的值。你要做的就是将每一行的数字挤压到一起。前5行足够简单，但出现两位数的时候该怎么办呢？

事实证明，你要做的就是将十位数加到它左侧数字上，比如下图所示的是第六行中出现了上面的情况，如何进行移动以获得11的值

如果出现了三位数同样进位处理即可。

秘密Billions项目组5:斐波那契数列

为了揭示隐藏的斐波那契数列，将左对齐的杨辉三角对角线相加。比如下图杨辉三角中发现的斐波那契数列前九个数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…

按线条所示相加结果即为斐波那契数列秘密Billions项目组7:组合数学

或许杨辉三角中发现的最有趣的关系就是我们如何利用它找到组合数。

杨辉三角的前六行写成组合数的表达形式回忆一下从n个不同元素中选k个元素的组合公式。我们发现，对于杨辉三角中的每一行数字，从零开始计数，n是行数，k是在这一行中的位置。

所以，如果你想计算4选2，看第5行，第3个数，你会发现，答案是6.

秘密Billions项目组9:二项式定理

(x+y)的幂运算是很酷，但我们多久才会需要解这样的题呢？很有可能，不太经常需要。如果我们能够从上一个章节的结论中总结出一个更有用的形式，会不会更方便？好吧，其实这就是二项式定理：

这个公式也称二项式公式或二项恒等式。

更具体内容请见文章《利用杨辉三角形来解释二项式定理》

秘密#10:与概率之间的联系—二项式分布

二项式分布描述了具有两种可能结果的实验的概率分布。事实上，杨辉三角的每一行也能揭示了这样的清晰，以最经典就是扔一枚硬币为例吧。

如果考虑抛3次硬币，就会有8种可能发生的事件：

但其实可以分为4类情况：

3次反面——只有1次发生2次正面和1次反面——有3次发生2次反面和1次正面——有3次发生3次正面——只有1次发生这注意1,3,3,1正是杨辉三角的第4行。同样如果抛5次硬币，出现3正2反的事情会出现10次，这也是出现在了杨辉三角第6行。

如果设抛硬币得到正面概率为p，反面概率为1–p。想知道扔到正面的可能性，我们可以使用二项式分布的概率质量函数找到概率的分布，其中n是试验次数，k是成功次数。

二项式分布的概率质量函数嗨，这看起很熟悉啊！这几乎和我们前面提到的二项式定理是一样的公式，只是没有求和公式，同时x和y被p和1-p代替了。

假设成功的概率是0.5(p=0.5)，我们计算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。

在公式中代入n=3、k=0,1,2,3，得到下面计算结果，请注意杨辉三角里的组合数：1,3,3,1：

扔到正面0次、3次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，这与上面分析结果是一致的。

这便是看似简单的杨辉三角里的10个秘密，是不是很精彩啊！但这并不是终点，还有另外更有趣的性质隐藏其中，或许未来我们继续前行，一道再探索吧。

本文作者：姚高华、李千蔚

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