必考知识点，CFA一级数量分析-常见概率分布-下

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时间：1900/1/1 0:00:00

“人的一切痛苦，本质上都是对自己无能的愤怒。”

文：蓝兔子读难NOTES

图：配图来源于网络

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因为篇幅的限制，我们上一篇文章只说了一半，在这一篇文章中，我们会继续进行常见的概率分布内容的分享。可以说，在常见概率分布这一大章内容里面，最重要的内容就在接下来要说的里面，一个是正态分布(normaldistribution)，另一个是t分布(student‘st-distribution)，其也是掌握后面章节内容的关键知识点。

连续概率分布与正态分布

具体连续概率分布的定义我们在上一篇文章中已经进行过解释，这里就不再赘述。我们直接来看一个连续均匀分布(continuousuniformdistribution)的PDF图形：

数据：840万枚CRV转入Coinbase，约合540万美元:金色财经报道，据Whale Alert监测，840万枚CRV（约合540万美元）从一未知地址转入Coinbase。[2023/7/31 16:09:27]

因为每一个可能的结果发生的概率是相等的，所以其PDF曲线为一条水平线。这里需要强调说明一下，由于连续随机变量可以有无数多个可能，因此针对某一确定的结果，我们近似的认为其发生的概率为0，因此在分析连续随机变量相关问题时，我们应该取区间分析，而不能对点进行分析。

又因为任何一个随机事件，其所有可能的结果的概率和为1，所以上图中，该条直线的y轴坐标为1/(b-a)。当我们对区间(a，b)中任何一段子区间进行分析时，可以利用简单的几何原理算出相应的面积(概率)。

接下来，就是重中之重的正态分布，正态分布几乎存在于我们生活的方方面面，无论是班上同学的考试成绩，还是班上同学的身高体重，基本上都逃离不了正态分布的“上帝诅咒”，而且同一个目标对象的数量(样本量)越是多，越是重复的厉害，那么就越正态。看看下面这两幅图，看看你是否能找到小正态的影子。

腾讯新闻《潜望》：香港合规交易所OSL决定退出，并于春节后寻求买家收购:金色财经报道，腾讯新闻《潜望》从不同的信源获悉，香港本地现有的合规交易所之一OSL已经决定退出，并于今年春节后在市场上四处寻找买家收购，但至今都无人接盘。截至发稿，该消息暂未能获得OSL置评。该交易所隶属于港股上市公司BC科技集团。该公司2022年的财报显示，公司亏损持续加大，其中OSL于2022年的加密货币收入为7148万港元，仅为前一年2.7亿港元的约三分之一不到。其中一个信源对腾讯新闻《潜望》表示，该公司之前就有炒壳嫌疑，股价曾经因装入区块链概念暴涨过60%。但如今，港股市场的壳已经毫无价值，且上市公司主要资产就是交易所。公开资料显示，该壳公司曾隶属于香港壳王高振顺，高依旧位列上市公司执行董事席位。[2023/7/5 22:18:33]

请别告诉我这是人为的，即便是人为的，为何偏偏就是这个样子。那到底是哪个样子呢，请看下图：

正态分布虽然如上帝的“祝福”般占据了我们生活的方方面面，但是我们只需要把它当作一个工具即可，一把扳手，我们不需要知道它是怎么生产出来的，我们只需要了解他的一些性质即可：

其PDF完全由均值和方差刻画，通常记为N(均值，方差)；其图形对称，偏度为0，越中间概率越大，越两端概率越小；如之前内容所讲，正态分布的峰度为3，超额峰度为0；服从正态分布的随机变量线性组合后还符合正态分布；标准正态分布概率区间几个特殊值经常用要记住，如下图(90%对应1.65个标准差，虽然图中没标，但也很重要)。

数据：近90%质押以太坊完全提款发生在中心化交易所:4月30日消息，根据21Shares Research编制的数据，信标链上大约90%的质押以太坊完全提款发生在中心化交易所（Kraken、Binance和Coinbase）。

21Shares Research的研究分析师Tom Wan指出，用户从这些交易所提取了超过877000枚ETH，占已完全移除ETH的87.5%。

在验证者退出方面，Kraken以超过15000个退出验证者位居榜首，比位居第二位的币安高出三倍，后者只有5676名验证者退出，Coinbase以2849名退出验证者位居第三。

另外，Nansen的Shapella仪表板显示，这些交易所仅占这些完全ETH提款的77.8%，即785742枚ETH。（BeInCrypto）[2023/5/1 14:36:21]

接下来的内容是标准化的正态分布。如前文所言，正态分布表示为N(均值，方差)，尽管正态分布存在于我们生活的方方面面，但是这方方面面的正态分布却也各不相同，且由于正态分布的PDF比较复杂，我们很难通过表达式去计算出其某区间的概率，更不可能给每一个参数不同的正态分布都列一个表格去查。

路透社：币安为涉嫌7亿美元非法资金案的交易所Bitzlato处理了近3.46亿美元资金:1月26日消息，币安为被查封的加密交易所Bitzlato处理了近3.46亿美元的资金。此前美国司法部已于1月19日逮捕了Bitzlato的联合创始人Anatoly Legkodymov，并指控其处理7亿美元的非法资金。美国财政部金融犯罪执法网络指定币安为Bitzlato非法资金案的主要交易对手之一。（路透社）[2023/1/26 11:30:51]

好在前辈们也纠结过这个问题，并且找到了解决方案：他们把标准正态分布的结果列成一张表，并提供一种把非标准正态分布转换为标准正态分布的办法，再拿这个分布去查表。

标准正态分布表示为N(0,1)，其中0为均值，1为方差，任何非标准正态分布都可以进行转换，转换后即可查标准正态分布的表得到相应的值。为了便于理解，举个例子：

已知某公司股票的某参数符合正态分布，其均值为10，方差为9，即服从N(10，9)，问随机抽取该股票参数中的某个值，该值小于5的概率，即F(5)。

虽然其服从正态分布，但不是标准正态分布，所以没法直接查表，需要先进行转换，转换的方法就是：

(X-μ)/σ====即=====>>(5-10)/3

即查标准正态分布的F((5-10)/3)即可。

FTX受害者正设立GoFundMe筹款活动自救:金色财经报道，在加密货币交易所 FTX 倒闭中蒙受损失的人正通过建立 GoFundMe 筹款活动来弥补损失，尽管 SBF 表示正在尝试融资以拯救公司并将资金返还给投资者和账户持有人，但目前与FTX 相关的 GoFundMe 募款项目不断涌现，FTX 受害者可能更倾向于自救。（雅虎财经）[2022/11/19 13:24:25]

查表要注意，1、查表会不会，不会的同学看看书，这里就不解释了；2、查得的是累积概率，可能需要再次进行换算。

标准正态分布也被称为z分布或者u分布。

亏空风险(shortfallrisk)：指资产的收益低于最低可接受水平的概率，亏空风险是一个概率。这个最低可接受水平(shortfalllevel)用Rl表示。

罗伊的第一安全比例(Roy'ssafety-firstratio|SFration):

SFRatio=/标准差

从其公式上来看，第一安全比例代表的是每份超额风险所获得的收益，这里的超额指的是投资收益相对于最低要求收益的超额。注意与夏普比率区分，夏普比率的超额是指投资收益相对于无风险收益超额。

同夏普比率一样，每单位风险获得的收益肯定是越多越好，所以怎么根据SFratio选择组合你懂的。

对数正态分布与t分布

接下来是另一个非常重要的分布，学生t分布(studentt-distribution)，不要觉得名字奇怪，之所以叫这个名字，只是因为发表的人给自己取了个这么样的笔名而已。就像正态分布也叫高斯分布一样，只是名字而已。

不过说到正态分布和t分布，他们不仅仅是名字都是发表者用的名字而已，他们还有很多的相似之处。怎么个相似法呢，先看图：

我们之前说过，正态分布的样本数量越多，就越正态分布。以考试成绩为例，一个班50个同学的数据肯定没有全校同学的数据那么“正态”。但是如果反过来，班上只有40个同学，或者只有10个同学，他们的成绩还符合正态分布吗？不难想象，当我们数据量越小时，越容易受到极端值的影响，当数据量太少时，就会和正态分布出现偏差。

我们有一位伟大的同学，叫做“Student”，同我们一样，他也发现了这个现象，但是和我们不一样的是，人家找到了小样本的解决方案，后来被命名成t分布。t分布具有如下性质：

图形如上图所示，当自由度增大时，图形逐步接近于正态分布；图形完全由自由度(degreesoffreedom|df)刻画；相比于正态分布，t分布图形有低峰肥尾巴特质，因此峰度>3；这里说明一下，峰态虽然叫做“峰”态，但他看的不是峰有多高，而是尾巴有多肥。

下面是对数正态分布(lognormaldistribution)，虽然正态分布占据了我们生活的方方面面，但是他却有一个问题：他的取值范围在正负无穷的范围内，而我们的资产，或者说股票的价格，不可能为负，所以导致其不能用于衡量资产的价格。因此，我们引入了对数正态分布(具体的过程比较有意思，但是这里不说)，如下图：

其有如下特点：

非负性，符合资产股票的价格定义域，偏度为正，所以一般用正态分布来衡量资产的风险，而用对数正态分布来衡量资产的价格。

最后还有一个知识点，叫做多元分布(multivariatedistribution)，这里大家不用详细了解，只知道多元分布就像多元方程一样，里面有多个元素。考试一般问你需要几个参数才能刻画出这个多元分布，只要记住以下内容就OK：

每一个元需要两个参数来刻画：一个均值，一个方差；每两个元之间需要一个相关系数来刻画，nC2；所以，假设有n元，需要的参数就是2*n+nC2，掏出你的计算器吧！

模拟

模拟就是通过事前对事情进行彩排，来预测和发现事情的发展方向，比如去面试前，你会进行一个模拟面试，考虑会有哪些问题，如何应对。

模拟有两种，以面试为例，很多人都有面试过，自己可能也面试过多次，面试的常见套路，问题基本上就那些，你模拟的时候，你就能知道大概会问哪些问题，虽然每次面试不一样，但是大差不差，你可以假设一种情景来分析，如果问这个问题怎么样，如果问那个问题怎么样。这就是蒙特卡罗模拟(MonteCarlosimulation)，我们也称之为情景模拟，对解决如果咋的咋的(whatif)问题很有效。实际上，你就需要先假设这么一个如果(通常假设其符合某一分布)，但是其缺陷是，你一旦假设都错了，那你就全盘皆输。而且这种计算费电脑。

还有一个叫做历史模拟(historicalsimulation)，就是根据历史数据来模拟，比如搜集某个地方某一天过去100年的天气情况来预测以后的天气情况，由于其依赖历史数据，所以不能进行情景分析，如果(whatif)气象局搞了场人工降雨呢？而且时代在进步，万事万物都是在变，没有什么是一成不变的，所以历史模拟也存在问题。还有就是，你选的这段历史数据万一碰巧选到特殊的一段了，比如模拟经济发展，你刚好选到二战那一段呢？所以，我们通常进行样本外测试(outofsampletest)，把数据拿到样本外的历史数据去试试，排除数据选择问题(是那一段时间独有的)。