一文了解最热门的 zkSNARK 方案：Groth16 方案

原文标题：一文了解最热门zkSNARK方案：零知识证明引论

在之前的文章中，我们介绍了零知识证明的基础概念以及构造zkSNARK的基本思想和方法。从本文开始，我们将逐一介绍目前最热门的zkSNARK方案。文章旨在让读者理解这些方案的基本原理。为了方便叙述并容易理解，在叙述方案时，我们会做一些简化处理，重在传达方案的核心思想。

本文介绍的是Groth16方案。Groth16方案，顾名思义，就是Groth在2016年发表的一篇论文中提出的方案。目前为止，Groth16是在实践中使用最广泛的zkSNARK(没有之一)。特别一提的，Zcash目前使用的zkSNARK方案就是Groth16。从性能上，Groth16的Verifier性能是所有zkSNARK中最快的，其证明字符串也是最短的。

而Groth16的最大缺点就是它需要对每个电路都执行一次可信初始化。

在介绍Groth16之前，简单回顾一下zkSNARK所要解决的问题。我们称这个问题为「计算验证问题」。

计算验证问题

任何计算都可以描述为一个算术电路。一个算术电路可以对数字进行算术运算。电路由加法门、乘法门以及一些常数门组成，如下图所示：

Poly Network攻击者将999枚Metis转入OKX:7月8日消息，据推特用户benmo.eth发推称，Poly Network攻击者将999枚Metis转入OKX，价值约1.5万美元。[2023/7/8 22:25:49]

这个例子中的电路包含了15个门。这个电路所描述的计算过程需要输入五个数字x1到x5，输出四个数字。

给定一组输入的数字，需要把这个电路中的每个门都计算一遍，才能计算出这个电路的输出。在这个例子中，如果输入是(1,2,3,4,5)，则电路的输出为(-27,14,80,171)，如下图所示：

计算验证问题是指，如果一个验证者——不妨叫做Verifier——只拿到了电路的一组输入和输出，如这个例子中的(1,2,3,4,5)和(-27,14,80,171)，它该如何验证这是一对合法的输入和输出呢？最简单粗暴的方法就是把这个输入重新扔进电路算一遍。如果电路很大的话，这个验证方法最大的缺点就是效率问题。

有些场景下，效率还不是唯一的问题。例如，输入可能包含Verifier不能知道的秘密信息。假设上例中的(3,4,5)是秘密输入，Verifier只能看到(1,2)，如下图所示。此时Verifier要验证的问题就变成了「是否存在(?,?,?)使得电路在输入(1,2,?,?,?)的时候的输出是(-27,14,80,171)」。这个场景下，即使是简单粗暴的重新计算也不再可行。

数据：以太坊Layer 2总锁仓量为98亿美元，7日跌幅0.5%:金色财经报道，据L2BEAT数据显示，以太坊Layer 2总锁仓量为98亿美元，7日跌幅0.5%。锁仓量前五分别为： Arbitrum One（58.7亿美元，7 日跌幅0.5%）； OP Mainnet（22.4亿美元，7日跌幅3.24%）； zkSync Era（7.1亿美元，7日涨幅14.61%）； dYdX（3.42亿美元，7日跌幅2.57%）；Immutable X（9974万美元，7日跌幅1.46%）。[2023/7/3 22:13:43]

一句话概括计算验证问题：Verifier能否在不知道秘密输入的情况下，高效地验证计算结果？

从电路到R1CS问题

一个zkSNARK就是对上述问题的一个解决方案。使用zkSNARK，一个证明者，叫做Prover，可以为计算过程生成一个简短的证明字符串。Verifier读取这个字符串，就可以判断给定的公开输入和输出是否合法。

Groth16是众多zkSNARK构造方案中的一种。接下来，我们介绍Groth16是怎么解决计算验证问题的。

Roboto Games完成1500万美元A轮融资，a16z领投:金色财经报道，旨在连接Web2体验和可访问的Web3游戏元素的游戏工作室Roboto Games完成1500万美元A轮融资，a16z领投，其他参投方包括Ancient8、Animoca Brands、Gumi Cryptos Capital、Harrison Metal Capital、Makers Fund、Merit Circle、Transcend和一些天使投资人。迄今为止，该公司的总融资额为1950万美元，包括2019年的种子轮融资。

Roboto Game由Web2资深人士创立，计划将Web3元素添加到其即将推出的生存/制作大型多人在线(MMO)游戏Foragers and Fighters中，该团队计划在2023年第一季度推出该游戏的初始可玩版本，新资金将用于继续打磨游戏并扩大招聘，包括艺术家和营销人员。[2022/11/30 21:10:49]

首先，我们重新审视一下Verifier的任务：我们只知道电路的前两个输入是(1,2)，我们的目标是要判断是否存在一组合法的秘密输入，使得电路的输出是(-27,14,80,171)。如果我们换个角度看这个问题，它其实可以描述为：给一个电路，上面有些空格可以填数字，有些空格已经填上了数字，请问是否存在一种填法，能够同时满足每个门的逻辑？

韩国未来资产集团再次推迟成立数字资产子公司:11月3日消息，韩国最大的共同基金公司未来资产集团（Mirae Asset）已决定今年不成立数字资产公司“Digital X”，相关人士表示，因为市场情况不好，所以很难在今年年底成立Digital X，未来资产集团正在全面审查其虚拟资产业务。

报道称，今年年初，未来资产集团推出了比特币和NFT等虚拟资产托管业务，并计划在3月份成立数字资产公司“Digital X”，但之后将该计划推迟至今年年底。（EToday）[2022/11/3 12:12:26]

从这个新的角度，计算验证问题被转换成了一个类似于数独那样的填数字游戏：有一些空格，一部分已经填上，请你填上另外一些空格，满足一些限制条件。

然后，我们为每一个要满足的条件列一个方程。这里，每个要满足的条件其实就是一个门的逻辑：加法门的输出等于两个输入之和，乘法门的输出等于两个输入之积。于是，原来的填空游戏就变成了一个多元方程组。上述例子转化得到的方程组如下：

最后，我们对这个方程做一些整理，使得它能够写成矩阵和向量的形式，更加整齐和简洁。我们把每个方程都写成*=*x*的模式。尽管并不是所有方程中都有乘法，但我们可以给没有乘法的式子乘上一个。于是方程组变成了下面这个样子：

美股三大指数集体收跌，标普500指数跌2.13%:金色财经报道，行情显示，美股三大指数集体收跌，道指跌1.9%，标普500指数跌2.13%，纳指跌2.54%。[2022/8/23 12:41:55]

把所有方程合到一起，就得到了原方程组的矩阵表示

我们把最终得到的这个矩阵向量方程叫做一个Rank-1ConstraintSystem(R1CS)。

总结一下，这一节中我们把计算验证问题转化成了数学问题R1CS。

在计算验证问题中，Verifier知道一个电路，拿到公开部分的输入，以及电路的输出，判断它们是否合法。

从R1CS问题到QAP问题

在零知识证明领域，R1CS基本上就是电路的代名词。许多zkSNARK把R1CS问题作为目标问题。不过，大部分zkSNARK不会直接对R1CS下手，而是把R1CS问题继续转化，得到一个等价的多项式问题，再对这个多项式问题设计证明方案。Groth16也不例外。不同的zkSNARK选择的多项式问题各不相同，Groth16选择的是一个叫做QuadraticArithmeticProgramming(QAP)的问题。

这一节中介绍一下怎样把R1CS问题转化为等价的QAP问题。

然后，我们把这些列向量换成多项式，使得多项式方程和原先的向量方程等价。

把向量转化成多项式的一种方式是使用多项式插值。

多项式插值

QAP问题

现在，我们直接把R1CS矩阵中的列向量换成它们的多项式插值，得到的结果如下图所示。

我们用一个表格总结一下上文中提到的所有问题。

为什么要越搞越复杂，把电路问题转化为QAP问题呢？一个简单的回答：就是为了引入多项式！多项式是一个强大的工具。多项式的作用，可以理解为一个「杠杆」，或者叫「误差放大器」。如果我们要检查两个长度为10000的向量是否相等，一定需要检查10000次，哪怕检查过了9999个点都是一样的，也不能保证最后一点是相同的。而两个10000次的多项式，哪怕非常接近，比如说它们的系数有9999个都相同，或者它们在这些点上的取值都相等，但只要有一个点不同，这两个多项式就截然不同。这意味着，如果在一个很大的范围内，例如到当中均匀随机选一个点，两个不同的多项式在这个点上相等的机会只有。检查两个多项式是否相等，比检查同样规模的向量要快得多，这几乎是所有zkSNARK提高Verifier效率的根本原理。

为QAP问题构造zkSNARK

QAP问题就是Groth16要用来构造zkSNARK的最终问题了。不过，在解释Groth16的构造细节之前，我们先准备一些工具。

准备工具

我们假设读者对椭圆曲线群的基本特性和应用有所了解，并采用加法群的记号来描述椭圆曲线群中的点和运算。椭圆曲线群中的元素可以用来表示多项式，并限制Prover必须使用给定的多项式来进行线性组合。这正是QAP所需要用到的特性。

我们看一下椭圆曲线是怎么用来表示多项式的。

KoE假设

然而，上述直觉并不能从离散对数假设严格地证明而来。所以，只能把它作为一个新的安全性假设来用。这个假设就叫做Knowledge-of-Exponent(KoE)假设。

KoE假设怎样应用到QAP问题上呢？那就是，KoE允许我们使用椭圆曲线点来表示多项式，并且迫使Prover只能从已知的多项式线性组合产生新的多项式。

不过，到目前为止，我们忽略了两个关键问题：

关于第二个问题，一个解决方法就是双线性配对。

双线性配对

现在，我们已经准备好了工具：KoE假设和双线性配对。接下来，我们就介绍Groth16是如何为QAP问题构造zkSNARK的。

Groth16方案

Setup

Prove

Verify

解析

我们简单解释一下上述构造为什么能够工作。至于它为什么是安全的，请感兴趣的读者参阅原文。

当然，Verifier的验证式中还包含了许多其他项，但在Groth的精心设计下，它们都消掉了。感兴趣的可以自行验证。

小结

本文中，我们解释了Groth16这个zkSNARK方案的构造原理。我们从算术电路开始，介绍了怎样将计算验证问题转化为R1CS问题以及QAP问题。然后我们解释了怎样使用Groth16方案来证明知道一个QAP问题的解。Groth16方案使用了KoE假设以及双线性配对。它的缺点是需要可信第三方进行初始化，而且初始化过程需要对每个电路进行一次。与此同时，Groth16享有最高效的Verifier算法以及最短的证明字符串，使得Groth16成为至今仍然应用最广的zkSNARK方案。

参考资料

JenGroth.OntheSizeofPairing-basedNon-interactiveArgument.2016.

撰文：Cyte

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