从数学角度详解Paradigm最新Goo机制的完整运作模式

原文作者:DaveWhite,Frankie

原文标题:GOO(GradualOwnershipOptimization)

当NFT项目同时包含一个可替代的代币时，持有NFT和代币的社区往往会随着时间的推移出现分歧，而这种分歧一旦发生难以修复。Paradigm创建了一个新的机制即渐进式所有权优化解决此问题。DAOrayaki去中心化编辑委员会特编译此文，文章共分为引言、动机、机制、代码和结论五部分。

一、引言

当NFT项目同时包含一个可替代的代币时，持有NFT和代币的社区往往会随着时间的推移出现分歧。我们创建了一个机制来抑制这种分歧，并在它发生时修复它。这种机制称之为渐进式所有权优化。

ArtGobblers-即将推出的NFT项目，是产生一种名为Goo的以太坊代币的NFT。一个Gobbler拥有的Goo越多，它生成Goo的速度就越快。这意味着Goo的总供应量每天都会增加得越来越快，从几千到几百万甚至更多。囤积Goo代币而不拥有任何GobblerNFT是一个非常糟糕的策略，因为其他人都会生成Goo，而你在Goo总供应量中的份额将迅速减少到零。另一方面，如果你拥有很多"Gobblers"，但却没有多少Goo，那么你的生成Goo的速度将落后其他玩家。

但是，假设您拥有GobblerNFT的所有权，其Goo总产能占总量的1%，并且你从未移除您的Goo。无论您开始拥有多少Goo，您最终都会得到至少Goo总供应量的1%！这确保了Goo长期保持在NFT持有者的控制之下。

4月11日至今ARK基金累计增持超382万美元的Coinbase股票:金色财经报道，数据显示，4月11日至今，ARK方舟基金累计增持64704股Coinbase股票(COIN)，按当前价计算，价值约382万美元。截止周五收盘，COIN收盘报59.04美元。[2023/4/23 14:22:10]

从数学上讲，瞬时Goo的发行量等于

其中Gobbler的Mult，或乘数，是其生成Goo的基本速度。我们用一个微分方程自动合成Goo的发放，如果你有多个Gobbler，也会在Gobbler之间自动平衡Goo的发行量。

在这个系统中，由于一些非常幸运的数学运算，事实证明拥有多个Gobbler的乘数与总mult相加与拥有一个Gobbler的乘数为总mult相同，这意味着随着一些玩家获得更多Gobbler，游戏保持公平。虽然是为ArtGobblers设计的，但该机制适用于任何具有可替代代币的NFT生态系统。它使NFT和代币持有者保持一致，同时确保NFT本身的首要重要性。这也很有趣，尤其是与VRGDA等其他机制结合使用时。

在本文中，我们分解了该机制的细节，并提供了可生成Goo的代码，因此可以在自己的项目中使用它。

二、动机

1、当前NFT可替代代币的发行类型

目前，NFT项目有两种主要方式发行可替代代币。

1）空投：在某个特定的时间点，NFT的所有持有者会收到与他们持有的NFT数量成比例的可替代代币。

ARB代币申领数量突破10亿枚:3月27日消息，据Nansen最新数据显示，ARB代币申领数量已突破10亿枚，本文撰写时达到1,000,041,375枚，占空投代币总量1,162,166,000枚的约86%。

此外，当前ARB代币价格约为1.26美元，市值约为16亿美元。[2023/3/27 13:29:15]

2）恒定释放：每个NFT在一段时间内释放出大致恒定数量的代币。

一种恒定释放方法是质押，NFT持有人将他们的NFT锁定在一个合约中，每天收到一些恒定数量的代币。

另一种近似恒定释放方法是"玩赚"，拥有或可以使用特定NFT的用户可以玩一个游戏，有可能每天赚取一定数量的代币，这取决于他们的游戏方式。

2、问题

在以上两种情况下，随着时间的推移，持有NFT的人数可能会与持有可替代代币的人数大不相同。

首先，在空投的情况下，由于一些用户在不出售其代币的情况下出售NFT，而另一些用户在不出售其NFT的情况下出售代币，代币和NFT所有权失衡，而且没有力量使其恢复一致。

即使在恒定释放的情况下，由于可替代代币以恒定速率发行，随着时间的推移，NFT和可替换代币的所有权实际上是不可能回到一致：每天，新发行的代币在总供应量中所占的比例越来越小.此外，无论您拥有多少可替代代币，都没有动力将其与相当数量的NFT相匹配，反之亦然。一旦NFT和代币持有者的群体出现分歧，就没有任何东西将他们重新整合。

阿斯顿·马丁F1车队的官方在线商店添加了加密支付选项:金色财经报道，阿斯顿·马丁F1车队（AMF1）的官方在线商店添加了加密货币支付选项。据官方公告称，AMF1通过与Crypto.com和电子商务合作伙伴Cube Partnership（Cube）合作使其在线商店用户可以选择使用加密货币购买商品。[2022/8/11 12:18:47]

3、解决方案的其他要求

我们想确保Goo是一个纯粹的实用代币，而ArtGobblersNFT本身将继续是经济的支柱。我们还希望我们的解决方案是非常高效的，易于NFT社区成员理解，而且最重要的是，使用起来很有趣。

三、机制

1、概述

属于给定以太坊帐户的所有ArtGobblerNFT将Goo释放到与该帐户关联的Goo池中。该地址的所有者可以随时从该池中添加或删除Goo。

ArtGobblers生成Goo的速度与池中已经存在的Goo的平方根成正比。每个Gobbler都有自己的mult或倍数，描述其生成Goo的基本速度。

我们用一个微分方程来自动复合这个瞬时的发行量，懒惰地进行评估，以便复合可以在任意长的时间段内发生，而不需要花费任何Gasfee。

Goo随着时间的推移呈二次方膨胀，明显慢于大多数代币质押计划中常见的指数式膨胀。

因为当Goo与用户的Gobblers按比例持有时，Goo的发行是最理想的，用户被激励按比例持有Goo和Gobblers。由于Goo的总体释放率一直在增加，所以无论已经发行了多少Goo，这些激励措施都是强有力的。

DAO解决方案提供商Aragon计划在11月30日之前将Aragon协会资金转移到AN DAO:7月20日消息，DAO解决方案提供商Aragon宣布将在2022年11月30日之前将Aragon协会的资金转移到AN DAO，并采用代表结构。自2017年以来，该财库一直由Aragon委员会成员持有和管理，他们组成了非营利性Aragon协会，Aragon协会和委员会成员在2023年2月之前将其角色转变为DAO。

转移的具体时间安排为：9月31日DAO的智能合约完成并准备好接受审计；10月1日将举行代表选举；11月1日选定的代表将就职；11月30日在确定该技术可以安全使用的情况下进行资金转移。[2022/7/20 2:24:56]

由于一些非常幸运的数学运算，拥有许多乘数等于给定总数的Gobblers与拥有一个乘数等于该总数的Gobbler是一样的，即使某些用户积累了大量Gobbler，也能确保系统保持公平。

2、定义

-

的Goo释放倍数

-在时间t时，

池中的Goo的数量

-Gobbler在时间0时，

拥有多少Goo

为方便起见，在仅指一个Gobbler时，我们将使用

不加下标

3、Goo的释放

ArtGobblers瞬间释放Goo的速度是

我们选择平方根发行是为了确保Gobbler比Goo更基础--在某个Gobbler的池子里添加的Goo越多，每个新单位的Goo增加该Gobbler的瞬时Goo发行量就越少。这意味着用户不能通过在单个Gobbler的池子里放置大量的Goo来玩弄这个系统。

全国首笔数字人民币缴纳关税业务在大连落地:金色财经消息，近日，在大连海关所属大连港湾海关的指导下，大连瑞驰国际货运代理有限公司成功办理了全国首笔数字人民币缴纳关税业务。这标志着继预算收支退业务全链条应用数字人民币在全国率先落地后，大连再次形成全新链条，实现财税关库银业务全场景覆盖。（央广网大连）[2022/6/6 4:06:30]

例如，在时间1，如果m是2，并且g是2，那么Goo每天的瞬时Goo发行量将是

用数学方法表示，我们有以下微分方程：

求解后可得

并展开，我们得到

注意，为方便起见，我们假设时间总是从0开始，而在生成中，我们必须跟踪自上次与合约互动以来所经过的时间。

4、跨越Gobblers优化Goo生产

想象一下，你有4个Goo和2个Gobblers，一个mult为1，一个mult为3。

你想决定如何在它们之间分配你的Goo，以使你的Goo生产率最大化。

如果你必须把所有的Goo都放在一个Gobbler的池子里，显然最好是把它放在mult为3的Gobbler的池子里，这样瞬间的生产速度为

然而，将你的Goo平均分配给Gobblers就更好了，其生产速度为

但事实证明，我们可以做得更好。对于任何一组有乘数

的Gobblers，在他们之间分配Goo的最佳方式是将总Goo的

分配给每个人。

在这种情况下，我们将把

Goo分配给第一个Gobbler，把

Goo分配给第二个Gobbler，这样瞬间的Goo总产量为

5、Goo保持最优化

如果用户不得不不断地在多个Gobbler之间重新平衡他们的Goo，以保持它们的最佳生产状态，这将是一个有趣但不是特别有用的结果。

幸运的是，一旦平衡后，Gobblers就会保持平衡。要知道为什么，请注意，根据定义，在平衡的时候。

如果我们为方便起见引入一个新的常数

，我们会得到

将其插入上述

定义中，我们可以得到

并且，简化一下：

由于这对所有的

，我们可以看到，无论t数值是多少，Goo都是按照它们的乘数比例在Gobbler之间分配的，这正是我们维持最佳Goo产量所需要的条件。

6、多个Gobblers产生的Goo

这意味着我们可以为用户自动平衡Gobblers之间的Goo，只需一次，它们就会保持平衡。

即便如此，如果由此产生的Goo生产率很复杂或难以理解，整个系统就不会特别令人满意或有趣，而且用户可能不知道如何与之互动。

幸运的是，情况并非如此。事实证明，当Goo在多个

Gobbler之间得到最佳平衡时，总的Goo生产率与单个

mult的Gobbler的Goo生产率是一样的，换句话说，拥有Mult总和为100的多个Gobblers与拥有Mult为100的单个Gobbler相同。

回到我们原来的例子，我们可以手动验证是否是这种情况。当我们用1和3的乘法器在两个gobbler之间优化平衡4Goo并实现4的瞬时输出时，这与将4Goo放入具有mult13=4的单个gobbler的池中相同达到输出。我们可以看到，如果我们有四个Gobbler，每个Gobbler的mult为1，总输出为

这个最终结果-拥有几个总和为10的Gobbler与拥有一个具有10倍数的Gobbler相同-既非常直观又非常幸运，，因为否则用户可以通过改变钱包之间的Gobbler的分配来操纵Goo的生产速度。

7、激励措施

因为Goo是二次方膨胀的，所以持有它而不持有Gobblers是一个严重的错误，因为你不会再产生任何Goo，同时在你的整体供应中的比例将迅速减少。

此外，我们可以从上面的自动平衡部分看到，当Goo按比例分配给mult时，整个生态系统的最佳Goo生产率就达到了。因此，如果你有很多Gobblers，但Goo却很少，你的Goo生产将落后于整个领域的生产，你将被竞争淘汰。因此，用户被激励保持他们的Goo和Gobbler持有量大致一致。

更正式地说，假设你拥有一个总乘数为M的Gobblers集合。如果你从未将你的任何Goo从其收集器中移除，从

的定义中我们可以看到，最终你的Goo供应将大约等于

，这是唯一的二次项。

假设所有的Gobblers加起来的总倍数是Q。如果Goo在所有其他Gobblers之间完全平衡，最终他们的Goo供应量将大约等于

，因此Goo总供应量将与

成正比，而你所占的比例将是

，即你拥有的总mult的比例。

如果Goo在其他Gobblers之间不是完全平衡的，你在总Goo中的比例实际上会大于你在总mult中的比例。

当然，这只是在总mult随着时间的推移保持不变的情况下，而这可能不取决于系统的其他部分如何运作。否则，你可能不得不采取行动，以确保你在总mult中的份额保持不变。

四、代码

在transmissions11/goo-issuance可以找到GOO的高度优化、生产准备和许可实现。欢迎提出改进意见。

五、总结

GOO是为ArtGobblers设计的，但我们相信它适用于各种NFT项目和链上游戏。如果你想从NFT中发行一个可替换的代币，同时确保用户持有NFT和代币的比例大致相同，GOO可能适合你。

如果有兴趣将GOO整合到您的项目中，可以联系。@_Dave__White_,@FrankieIsLost和@transmissions11。

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