理解零知识证明算法之Bulletproofs：Range Proof (2)

前言

在本系列的第一篇文章中，我们介绍了Bulletproofs在Rangeproof上的应用，当prover想要证明v值在范围内时，他需要发送2n+7个元素。然而，这种O(n)级的CC并不是我们想要的，希望能寻找一种方法可以把CC降低到O(log(n)级。

所以，本篇我们就主要介绍这个优化过程，主要分为两部分：

以简单的场景去阐述这个优化过程把第一篇的Rangeproof结果嵌入到优化过程注：第一篇文章由于格式的原因，公式显示会有误差，向量的特殊标记也没有显示出来，因此本篇将以图片的形式展示整个过程；另外，本文最后也附上了第一篇文章的图，帮助大家理解^_^

报告：非洲5300万加密货币用户中有超过三分之一来自尼日利亚:金色财经报道，根据 Triple A 最新的加密货币所有权数据，非洲大陆现在估计有 5300 万加密货币所有者。这约占全球估计总数 3.2 亿人的 16.5%。在非洲的所有加密货币持有者中，尼日利亚占总数的三分之一以上，即略高于 2200 万。

在全球范围内，尼日利亚的加密货币持有者数量排名第四，而美国是排名第一的国家，拥有 4600 万加密货币持有者。根据数据，印度和巴基斯坦位居第二，分别拥有 2740 万和 2640 万加密货币所有者。[2022/8/31 12:59:01]

ImprovedRangeproof----Asimpleexample

数据：50104997枚BUSD从未知钱包转移至币安:7月14日消息，据Whale Alert数据，50,104,997枚BUSD从未知钱包转移至币安。[2022/7/14 2:13:36]

1.预备知识

2.一个简单的场景

3.复杂度优化到O(log(n))

下图是一张基于上述过程的交互协议

有几点需要说明：

汤姆猫宣布与唯一艺术平台版权项目达文奇的蛋达成官方合作:据官方消息，上市公司汤姆猫今日在微博宣布与达文奇的蛋版权数字藏品达成官方合作，达文奇的蛋展示了数字艺术的璀璨与原创科幻的魅力，未来，汤姆猫将突破次元壁携手达文奇的蛋探索创作更具视觉冲击力的产品。

据悉，达文奇的蛋5月首发于唯一艺术平台，是国内原创的可进化3D科幻数字藏品。[2022/5/9 3:00:23]

图的右半部分分为两个部分a.黄色部分为文章前面部分讲述的过程。这又分为三个部分：?i.初始化：省略了P的计算和交互的过程，我们假定开始此证明协议前，验证者已经有了一些基本的信息。这并不严谨，仅仅是为了清晰的表示后面的交互过程

?ii.LOOP：一个不断迭代的过程，每次迭代，会:

产生一对(Li,Ri)，所有向量长度减半Verifier计算P?i?/g?i?/h?i`?iii.End：最后一步，向量a,b已减半成常量a,b

?b.绿色部分为黄色部分的进一步优化，优化思想主要是多次幂乘操作缩减成单词幂乘操作，具体的是：

?i.上述LOOP中的第3步，延迟到最后一部一次性计算

ArealRangproof

回顾第一篇文章，我们知道，当我们要证明v属于时，验证者最终要验证：

对关系式做个变换：

因此，prover是要证明有向量l，r满足关系：

基于此关系，使用上述协议，就可以使rangeproof的交互复杂度降低到对数级。现在，是不是找到点内味了？

总结

本篇文章主要讲到了，BulletProof是如何把Rangeproof的CC降低到O(log(n))，并且介绍了更近一步的优化。结合第一篇文章，相信你已经对基于Bulletproofs的Rangeproof原理有了整体的了解，在本系列的第三篇文章中，将给大家分享Rangeproof的工程上实现细节。

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